HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsel3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shsel3 28044
Description: Membership in the subspace sum of two Hilbert subspaces, using vector subtraction. (Contributed by NM, 20-Jan-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsel3 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Proof of Theorem shsel3
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shsel 28043 . 2 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑧𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑧)))
2 id 22 . . . . . . . 8 (𝐶 = (𝑥 + 𝑧) → 𝐶 = (𝑥 + 𝑧))
3 shel 27938 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴S𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℋ)
4 shel 27938 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵S𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ℋ)
5 hvaddsubval 27760 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑥 (-1 · 𝑧)))
63, 4, 5syl2an 494 . . . . . . . . . 10 (((𝐴S𝑥𝐴) ∧ (𝐵S𝑧𝐵)) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑥 (-1 · 𝑧)))
76an4s 868 . . . . . . . . 9 (((𝐴S𝐵S ) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐵)) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑥 (-1 · 𝑧)))
87anassrs 679 . . . . . . . 8 ((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑥 (-1 · 𝑧)))
92, 8sylan9eqr 2677 . . . . . . 7 (((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 + 𝑧)) → 𝐶 = (𝑥 (-1 · 𝑧)))
10 neg1cn 11076 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℂ
11 shmulcl 27945 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵S ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝐵) → (-1 · 𝑧) ∈ 𝐵)
1210, 11mp3an2 1409 . . . . . . . . . 10 ((𝐵S𝑧𝐵) → (-1 · 𝑧) ∈ 𝐵)
1312adantll 749 . . . . . . . . 9 (((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑧𝐵) → (-1 · 𝑧) ∈ 𝐵)
1413adantlr 750 . . . . . . . 8 ((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (-1 · 𝑧) ∈ 𝐵)
15 oveq2 6618 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (-1 · 𝑧) → (𝑥 𝑦) = (𝑥 (-1 · 𝑧)))
1615eqeq2d 2631 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (-1 · 𝑧) → (𝐶 = (𝑥 𝑦) ↔ 𝐶 = (𝑥 (-1 · 𝑧))))
1716rspcev 3298 . . . . . . . 8 (((-1 · 𝑧) ∈ 𝐵𝐶 = (𝑥 (-1 · 𝑧))) → ∃𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦))
1814, 17sylan 488 . . . . . . 7 (((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 (-1 · 𝑧))) → ∃𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦))
199, 18syldan 487 . . . . . 6 (((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 + 𝑧)) → ∃𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦))
2019ex 450 . . . . 5 ((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (𝐶 = (𝑥 + 𝑧) → ∃𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦)))
2120rexlimdva 3025 . . . 4 (((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑧𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑧) → ∃𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦)))
22 id 22 . . . . . . . 8 (𝐶 = (𝑥 𝑦) → 𝐶 = (𝑥 𝑦))
23 shel 27938 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵S𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℋ)
24 hvsubval 27743 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 𝑦) = (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
253, 23, 24syl2an 494 . . . . . . . . . 10 (((𝐴S𝑥𝐴) ∧ (𝐵S𝑦𝐵)) → (𝑥 𝑦) = (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
2625an4s 868 . . . . . . . . 9 (((𝐴S𝐵S ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → (𝑥 𝑦) = (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
2726anassrs 679 . . . . . . . 8 ((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥 𝑦) = (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
2822, 27sylan9eqr 2677 . . . . . . 7 (((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 𝑦)) → 𝐶 = (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
29 shmulcl 27945 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵S ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐵) → (-1 · 𝑦) ∈ 𝐵)
3010, 29mp3an2 1409 . . . . . . . . . 10 ((𝐵S𝑦𝐵) → (-1 · 𝑦) ∈ 𝐵)
3130adantll 749 . . . . . . . . 9 (((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑦𝐵) → (-1 · 𝑦) ∈ 𝐵)
3231adantlr 750 . . . . . . . 8 ((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (-1 · 𝑦) ∈ 𝐵)
33 oveq2 6618 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (-1 · 𝑦) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
3433eqeq2d 2631 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (-1 · 𝑦) → (𝐶 = (𝑥 + 𝑧) ↔ 𝐶 = (𝑥 + (-1 · 𝑦))))
3534rspcev 3298 . . . . . . . 8 (((-1 · 𝑦) ∈ 𝐵𝐶 = (𝑥 + (-1 · 𝑦))) → ∃𝑧𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑧))
3632, 35sylan 488 . . . . . . 7 (((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 + (-1 · 𝑦))) → ∃𝑧𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑧))
3728, 36syldan 487 . . . . . 6 (((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 𝑦)) → ∃𝑧𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑧))
3837ex 450 . . . . 5 ((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐶 = (𝑥 𝑦) → ∃𝑧𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑧)))
3938rexlimdva 3025 . . . 4 (((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦) → ∃𝑧𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑧)))
4021, 39impbid 202 . . 3 (((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑧𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑧) ↔ ∃𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦)))
4140rexbidva 3043 . 2 ((𝐴S𝐵S ) → (∃𝑥𝐴𝑧𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑧) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦)))
421, 41bitrd 268 1 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  (class class class)co 6610  cc 9886  1c1 9889  -cneg 10219  chil 27646   + cva 27647   · csm 27648   cmv 27652   S csh 27655   + cph 27658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-hilex 27726  ax-hfvadd 27727  ax-hvcom 27728  ax-hvass 27729  ax-hv0cl 27730  ax-hvaddid 27731  ax-hfvmul 27732  ax-hvmulid 27733  ax-hvmulass 27734  ax-hvdistr2 27736  ax-hvmul0 27737
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-ltxr 10031  df-sub 10220  df-neg 10221  df-grpo 27217  df-ablo 27269  df-hvsub 27698  df-sh 27934  df-shs 28037
This theorem is referenced by:  pjimai  28905
  Copyright terms: Public domain W3C validator