MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssfzoulel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssfzoulel 12776
Description: If a half-open integer range is a subset of a half-open range of nonnegative integers, but its lower bound is greater than or equal to the upper bound of the containing range, or its upper bound is less than or equal to 0, then its upper bound is less than or equal to its lower bound (and therefore it is actually empty). (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
ssfzoulel ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑁𝐴𝐵 ≤ 0) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^𝑁) → 𝐵𝐴)))

Proof of Theorem ssfzoulel
StepHypRef Expression
1 simpl2 1230 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 simpl3 1232 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 zre 11593 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
4 zre 11593 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
5 ltnle 10329 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
63, 4, 5syl2an 495 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
763adant1 1125 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
87biimpar 503 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → 𝐴 < 𝐵)
9 ssfzo12 12775 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^𝑁) → (0 ≤ 𝐴𝐵𝑁)))
101, 2, 8, 9syl3anc 1477 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^𝑁) → (0 ≤ 𝐴𝐵𝑁)))
114adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
12 0red 10253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
133adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
14 letr 10343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐵𝐴))
1511, 12, 13, 14syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐵𝐴))
1615expcomd 453 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐴 → (𝐵 ≤ 0 → 𝐵𝐴)))
1716imp 444 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐵 ≤ 0 → 𝐵𝐴))
1817con3d 148 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (¬ 𝐵𝐴 → ¬ 𝐵 ≤ 0))
1918ex 449 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐴 → (¬ 𝐵𝐴 → ¬ 𝐵 ≤ 0)))
20193adant1 1125 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐴 → (¬ 𝐵𝐴 → ¬ 𝐵 ≤ 0)))
2120com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ 𝐵𝐴 → (0 ≤ 𝐴 → ¬ 𝐵 ≤ 0)))
2221imp 444 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (0 ≤ 𝐴 → ¬ 𝐵 ≤ 0))
23 nn0re 11513 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
244, 23, 33anim123i 1155 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
25243coml 1122 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
26 letr 10343 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵𝑁𝑁𝐴) → 𝐵𝐴))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵𝑁𝑁𝐴) → 𝐵𝐴))
2827expdimp 452 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵𝑁) → (𝑁𝐴𝐵𝐴))
2928con3d 148 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵𝑁) → (¬ 𝐵𝐴 → ¬ 𝑁𝐴))
3029impancom 455 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝐵𝑁 → ¬ 𝑁𝐴))
3122, 30anim12d 587 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ((0 ≤ 𝐴𝐵𝑁) → (¬ 𝐵 ≤ 0 ∧ ¬ 𝑁𝐴)))
32 ioran 512 . . . . . . . 8 (¬ (𝑁𝐴𝐵 ≤ 0) ↔ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0))
33 ancom 465 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) ↔ (¬ 𝐵 ≤ 0 ∧ ¬ 𝑁𝐴))
3432, 33bitri 264 . . . . . . 7 (¬ (𝑁𝐴𝐵 ≤ 0) ↔ (¬ 𝐵 ≤ 0 ∧ ¬ 𝑁𝐴))
3531, 34syl6ibr 242 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ((0 ≤ 𝐴𝐵𝑁) → ¬ (𝑁𝐴𝐵 ≤ 0)))
3610, 35syld 47 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^𝑁) → ¬ (𝑁𝐴𝐵 ≤ 0)))
3736con2d 129 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ((𝑁𝐴𝐵 ≤ 0) → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^𝑁)))
3837impancom 455 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝐴𝐵 ≤ 0)) → (¬ 𝐵𝐴 → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^𝑁)))
3938con4d 114 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝐴𝐵 ≤ 0)) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^𝑁) → 𝐵𝐴))
4039ex 449 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑁𝐴𝐵 ≤ 0) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^𝑁) → 𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072  wcel 2139  wss 3715   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  cr 10147  0cc0 10148   < clt 10286  cle 10287  0cn0 11504  cz 11589  ..^cfzo 12679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680
This theorem is referenced by:  swrdnd2  13653
  Copyright terms: Public domain W3C validator