MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssfzoulel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssfzoulel 12385
Description: If a half-open integer range is a subset of a half-open range of nonnegative integers, but its lower bound is greater than or equal to the upper bound of the containing range, or its upper bound is less than or equal to 0, then its upper bound is less than or equal to its lower bound (and therefore it is actually empty). (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
ssfzoulel ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑁𝐴𝐵 ≤ 0) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^𝑁) → 𝐵𝐴)))

Proof of Theorem ssfzoulel
StepHypRef Expression
1 simpl2 1057 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 simpl3 1058 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 zre 11216 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
4 zre 11216 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
5 ltnle 9968 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
63, 4, 5syl2an 492 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
763adant1 1071 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
87biimpar 500 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → 𝐴 < 𝐵)
9 ssfzo12 12384 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^𝑁) → (0 ≤ 𝐴𝐵𝑁)))
101, 2, 8, 9syl3anc 1317 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^𝑁) → (0 ≤ 𝐴𝐵𝑁)))
114adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
12 0red 9897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
133adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
14 letr 9982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐵𝐴))
1511, 12, 13, 14syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐵𝐴))
1615expcomd 452 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐴 → (𝐵 ≤ 0 → 𝐵𝐴)))
1716imp 443 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐵 ≤ 0 → 𝐵𝐴))
1817con3d 146 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (¬ 𝐵𝐴 → ¬ 𝐵 ≤ 0))
1918ex 448 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐴 → (¬ 𝐵𝐴 → ¬ 𝐵 ≤ 0)))
20193adant1 1071 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐴 → (¬ 𝐵𝐴 → ¬ 𝐵 ≤ 0)))
2120com23 83 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ 𝐵𝐴 → (0 ≤ 𝐴 → ¬ 𝐵 ≤ 0)))
2221imp 443 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (0 ≤ 𝐴 → ¬ 𝐵 ≤ 0))
23 nn0re 11150 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
244, 23, 33anim123i 1239 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
25243coml 1263 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
26 letr 9982 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵𝑁𝑁𝐴) → 𝐵𝐴))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵𝑁𝑁𝐴) → 𝐵𝐴))
2827expdimp 451 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵𝑁) → (𝑁𝐴𝐵𝐴))
2928con3d 146 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵𝑁) → (¬ 𝐵𝐴 → ¬ 𝑁𝐴))
3029impancom 454 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝐵𝑁 → ¬ 𝑁𝐴))
3122, 30anim12d 583 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ((0 ≤ 𝐴𝐵𝑁) → (¬ 𝐵 ≤ 0 ∧ ¬ 𝑁𝐴)))
32 ioran 509 . . . . . . . 8 (¬ (𝑁𝐴𝐵 ≤ 0) ↔ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0))
33 ancom 464 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) ↔ (¬ 𝐵 ≤ 0 ∧ ¬ 𝑁𝐴))
3432, 33bitri 262 . . . . . . 7 (¬ (𝑁𝐴𝐵 ≤ 0) ↔ (¬ 𝐵 ≤ 0 ∧ ¬ 𝑁𝐴))
3531, 34syl6ibr 240 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ((0 ≤ 𝐴𝐵𝑁) → ¬ (𝑁𝐴𝐵 ≤ 0)))
3610, 35syld 45 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^𝑁) → ¬ (𝑁𝐴𝐵 ≤ 0)))
3736con2d 127 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ((𝑁𝐴𝐵 ≤ 0) → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^𝑁)))
3837impancom 454 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝐴𝐵 ≤ 0)) → (¬ 𝐵𝐴 → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^𝑁)))
3938con4d 112 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝐴𝐵 ≤ 0)) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^𝑁) → 𝐵𝐴))
4039ex 448 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑁𝐴𝐵 ≤ 0) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^𝑁) → 𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030  wcel 1976  wss 3539   class class class wbr 4577  (class class class)co 6526  cr 9791  0cc0 9792   < clt 9930  cle 9931  0cn0 11141  cz 11212  ..^cfzo 12291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-fz 12155  df-fzo 12292
This theorem is referenced by:  swrdnd2  13233
  Copyright terms: Public domain W3C validator