Theorem ltnle 10722

Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 11-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ltnle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem ltnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lenlt 10721	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
2	1	ancoms 461	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
3	2	con2bid 357	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068  ℝcr 10538   < clt 10677   ≤ cle 10678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pr 5332

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-br 5069  df-opab 5131  df-xp 5563  df-cnv 5565  df-xr 10681  df-le 10683

This theorem is referenced by:  letric  10742  ltnled  10789  leaddsub  11118  mulge0b  11512  nnnle0  11673  nn0n0n1ge2b  11966  znnnlt1  12012  uzwo  12314  qsqueeze  12597  difreicc  12873  fzp1disj  12969  fzneuz  12991  fznuz  12992  uznfz  12993  difelfznle  13024  nelfzo  13046  ssfzoulel  13134  elfzonelfzo  13142  modfzo0difsn  13314  ssnn0fi  13356  discr1  13603  bcval5  13681  swrdnd  14018  swrdnnn0nd  14020  swrdnd0  14021  swrdsbslen  14028  swrdspsleq  14029  pfxnd0  14052  pfxccat3  14098  swrdccat  14099  pfxccat3a  14102  repswswrd  14148  cnpart  14601  absmax  14691  rlimrege0  14938  rpnnen2lem12  15580  alzdvds  15672  algcvgblem  15923  prmndvdsfaclt  16069  pcprendvds  16179  pcdvdsb  16207  pcmpt  16230  prmunb  16252  prmreclem2  16255  prmgaplem5  16393  prmgaplem6  16394  prmlem1  16443  prmlem2  16455  lt6abl  19017  metdseq0  23464  xrhmeo  23552  ovolicc2lem3  24122  itg2seq  24345  dvne0  24610  coeeulem  24816  radcnvlt1  25008  argimgt0  25197  cxple2  25282  ressatans  25514  eldmgm  25601  basellem2  25661  issqf  25715  bpos1  25861  bposlem3  25864  bposlem6  25867  2sqreulem1  26024  2sqreunnlem1  26027  pntpbnd2  26165  ostth2lem4  26214  crctcshwlkn0  27601  crctcsh  27604  eucrctshift  28024  ltflcei  34882  poimirlem4  34898  poimirlem13  34907  poimirlem14  34908  poimirlem15  34909  poimirlem31  34925  mblfinlem1  34931  mbfposadd  34941  itgaddnclem2  34953  ftc1anclem1  34969  ftc1anclem5  34973  dvasin  34980  icccncfext  42177  stoweidlem14  42306  stoweidlem34  42326  ltnltne  43506  nnsum4primeseven  43972  nnsum4primesevenALTV  43973  ply1mulgsumlem2  44448