Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssmclslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssmclslem 31447
 Description: Lemma for ssmcls 31449. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mclsval.d 𝐷 = (mDV‘𝑇)
mclsval.e 𝐸 = (mEx‘𝑇)
mclsval.c 𝐶 = (mCls‘𝑇)
mclsval.1 (𝜑𝑇 ∈ mFS)
mclsval.2 (𝜑𝐾𝐷)
mclsval.3 (𝜑𝐵𝐸)
ssmclslem.h 𝐻 = (mVH‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
ssmclslem (𝜑 → (𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ (𝐾𝐶𝐵))

Proof of Theorem ssmclslem
Dummy variables 𝑐 𝑚 𝑜 𝑝 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . . . 5 (((𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑚𝑜𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ (mAx‘𝑇) → ∀𝑠 ∈ ran (mSubst‘𝑇)(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → (((mVars‘𝑇)‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × ((mVars‘𝑇)‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝑐))) → (𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐)
21a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (((𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑚𝑜𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ (mAx‘𝑇) → ∀𝑠 ∈ ran (mSubst‘𝑇)(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → (((mVars‘𝑇)‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × ((mVars‘𝑇)‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝑐))) → (𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐))
32alrimiv 1854 . . 3 (𝜑 → ∀𝑐(((𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑚𝑜𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ (mAx‘𝑇) → ∀𝑠 ∈ ran (mSubst‘𝑇)(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → (((mVars‘𝑇)‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × ((mVars‘𝑇)‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝑐))) → (𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐))
4 ssintab 4492 . . 3 ((𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ {𝑐 ∣ ((𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑚𝑜𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ (mAx‘𝑇) → ∀𝑠 ∈ ran (mSubst‘𝑇)(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → (((mVars‘𝑇)‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × ((mVars‘𝑇)‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝑐)))} ↔ ∀𝑐(((𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑚𝑜𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ (mAx‘𝑇) → ∀𝑠 ∈ ran (mSubst‘𝑇)(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → (((mVars‘𝑇)‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × ((mVars‘𝑇)‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝑐))) → (𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐))
53, 4sylibr 224 . 2 (𝜑 → (𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ {𝑐 ∣ ((𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑚𝑜𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ (mAx‘𝑇) → ∀𝑠 ∈ ran (mSubst‘𝑇)(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → (((mVars‘𝑇)‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × ((mVars‘𝑇)‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝑐)))})
6 mclsval.d . . 3 𝐷 = (mDV‘𝑇)
7 mclsval.e . . 3 𝐸 = (mEx‘𝑇)
8 mclsval.c . . 3 𝐶 = (mCls‘𝑇)
9 mclsval.1 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ mFS)
10 mclsval.2 . . 3 (𝜑𝐾𝐷)
11 mclsval.3 . . 3 (𝜑𝐵𝐸)
12 ssmclslem.h . . 3 𝐻 = (mVH‘𝑇)
13 eqid 2621 . . 3 (mAx‘𝑇) = (mAx‘𝑇)
14 eqid 2621 . . 3 (mSubst‘𝑇) = (mSubst‘𝑇)
15 eqid 2621 . . 3 (mVars‘𝑇) = (mVars‘𝑇)
166, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15mclsval 31445 . 2 (𝜑 → (𝐾𝐶𝐵) = {𝑐 ∣ ((𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑚𝑜𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ (mAx‘𝑇) → ∀𝑠 ∈ ran (mSubst‘𝑇)(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → (((mVars‘𝑇)‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × ((mVars‘𝑇)‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝑐)))})
175, 16sseqtr4d 3640 1 (𝜑 → (𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ (𝐾𝐶𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384  ∀wal 1480   = wceq 1482   ∈ wcel 1989  {cab 2607  ∀wral 2911   ∪ cun 3570   ⊆ wss 3572  ⟨cotp 4183  ∩ cint 4473   class class class wbr 4651   × cxp 5110  ran crn 5113   “ cima 5115  ‘cfv 5886  (class class class)co 6647  mAxcmax 31347  mExcmex 31349  mDVcmdv 31350  mVarscmvrs 31351  mSubstcmsub 31353  mVHcmvh 31354  mFScmfs 31358  mClscmcls 31359 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-fal 1488  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-ot 4184  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-map 7856  df-pm 7857  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-card 8762  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-fz 12324  df-fzo 12462  df-seq 12797  df-hash 13113  df-word 13294  df-concat 13296  df-s1 13297  df-struct 15853  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-ress 15859  df-plusg 15948  df-0g 16096  df-gsum 16097  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-submnd 17330  df-frmd 17380  df-mrex 31368  df-mex 31369  df-mrsub 31372  df-msub 31373  df-mvh 31374  df-mpst 31375  df-msr 31376  df-msta 31377  df-mfs 31378  df-mcls 31379 This theorem is referenced by:  vhmcls  31448  ssmcls  31449
 Copyright terms: Public domain W3C validator