Theorem symgcntz 30750

Description: All elements of a (finite) set of permutations commute if their orbits are disjoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgcntz.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
symgcntz.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
symgcntz.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑆)
symgcntz.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
symgcntz.1	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 dom (𝑥 ∖ I ))

Assertion

Ref	Expression
symgcntz	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑍‘𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem symgcntz

Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 = 𝑑) → 𝑐 = 𝑑)
2	1	oveq1d 7164	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 = 𝑑) → (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑑))
3	1	oveq2d 7165	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 = 𝑑) → (𝑑(+g‘𝑆)𝑐) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑑))
4	2, 3	eqtr4d 2858	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 = 𝑑) → (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑐))
5		symgcntz.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
6		symgcntz.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
7		symgcntz.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
8	7	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
9		simplrl 775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 𝑐 ∈ 𝐴)
10	8, 9	sseldd 3961	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 𝑐 ∈ 𝐵)
11		simplrr 776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 𝑑 ∈ 𝐴)
12	8, 11	sseldd 3961	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 𝑑 ∈ 𝐵)
13		symgcntz.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 dom (𝑥 ∖ I ))
14	13	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 dom (𝑥 ∖ I ))
15		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 𝑐 ≠ 𝑑)
16		difeq1 4085	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑥 ∖ I ) = (𝑐 ∖ I ))
17	16	dmeqd 5767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (𝑐 ∖ I ))
18		difeq1 4085	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑑 → (𝑥 ∖ I ) = (𝑑 ∖ I ))
19	18	dmeqd 5767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑑 → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (𝑑 ∖ I ))
20	17, 19	disji2 5041	. . . . . . 7 ⊢ ((Disj 𝑥 ∈ 𝐴 dom (𝑥 ∖ I ) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (dom (𝑐 ∖ I ) ∩ dom (𝑑 ∖ I )) = ∅)
21	14, 9, 11, 15, 20	syl121anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (dom (𝑐 ∖ I ) ∩ dom (𝑑 ∖ I )) = ∅)
22	5, 6, 10, 12, 21	symgcom2 30749	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (𝑐 ∘ 𝑑) = (𝑑 ∘ 𝑐))
23		eqid 2820	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
24	5, 6, 23	symgov 18507	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑐 ∘ 𝑑))
25	10, 12, 24	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑐 ∘ 𝑑))
26	5, 6, 23	symgov 18507	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑑(+g‘𝑆)𝑐) = (𝑑 ∘ 𝑐))
27	12, 10, 26	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (𝑑(+g‘𝑆)𝑐) = (𝑑 ∘ 𝑐))
28	22, 25, 27	3eqtr4d 2865	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑐))
29	4, 28	pm2.61dane 3103	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) → (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑐))
30	29	ralrimivva 3190	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝐴 ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑐))
31		symgcntz.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑆)
32	6, 23, 31	sscntz 18451	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ⊆ (𝑍‘𝐴) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝐴 ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑐)))
33	7, 7, 32	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ (𝑍‘𝐴) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝐴 ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑐)))
34	30, 33	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑍‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3015  ∀wral 3137   ∖ cdif 3926   ∩ cin 3928   ⊆ wss 3929  ∅c0 4284  Disj wdisj 5024   I cid 5452  dom cdm 5548   ∘ ccom 5552  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149  Basecbs 16478  +_gcplusg 16560  Cntzccntz 18440  SymGrpcsymg 18490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-disj 5025  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-1o 8095  df-oadd 8099  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-fin 8506  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11632  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12890  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-tset 16579  df-efmnd 18029  df-cntz 18442  df-symg 18491

This theorem is referenced by:  tocyccntz  30807