MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgfixfolem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgfixfolem1 17904
Description: Lemma 1 for symgfixfo 17905. (Contributed by AV, 7-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgfixf.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
symgfixf.q 𝑄 = {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}
symgfixf.s 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgfixf.h 𝐻 = (𝑞𝑄 ↦ (𝑞 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
symgfixfo.e 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
Assertion
Ref Expression
symgfixfolem1 ((𝑁𝑉𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸𝑄)
Distinct variable groups:   𝐾,𝑞   𝑃,𝑞   𝑁,𝑞   𝑄,𝑞   𝑆,𝑞   𝑥,𝐸   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥)   𝐸(𝑞)   𝐻(𝑥,𝑞)   𝑉(𝑞)   𝑍(𝑞)

Proof of Theorem symgfixfolem1
StepHypRef Expression
1 symgfixf.s . . . 4 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
2 symgfixfo.e . . . 4 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
31, 2symgextf1o 17889 . . 3 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁1-1-onto𝑁)
433adant1 1099 . 2 ((𝑁𝑉𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁1-1-onto𝑁)
5 simp2 1082 . . 3 ((𝑁𝑉𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐾𝑁)
6 iftrue 4125 . . . 4 (𝑥 = 𝐾 → if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)) = 𝐾)
76, 2fvmptg 6319 . . 3 ((𝐾𝑁𝐾𝑁) → (𝐸𝐾) = 𝐾)
85, 5, 7syl2anc 694 . 2 ((𝑁𝑉𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝐸𝐾) = 𝐾)
9 mptexg 6525 . . . . 5 (𝑁𝑉 → (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥))) ∈ V)
1093ad2ant1 1102 . . . 4 ((𝑁𝑉𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥))) ∈ V)
112, 10syl5eqel 2734 . . 3 ((𝑁𝑉𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸 ∈ V)
12 symgfixf.p . . . 4 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
13 symgfixf.q . . . 4 𝑄 = {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}
1412, 13symgfixelq 17899 . . 3 (𝐸 ∈ V → (𝐸𝑄 ↔ (𝐸:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐸𝐾) = 𝐾)))
1511, 14syl 17 . 2 ((𝑁𝑉𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝐸𝑄 ↔ (𝐸:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐸𝐾) = 𝐾)))
164, 8, 15mpbir2and 977 1 ((𝑁𝑉𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  {crab 2945  Vcvv 3231  cdif 3604  ifcif 4119  {csn 4210  cmpt 4762  cres 5145  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  Basecbs 15904  SymGrpcsymg 17843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-tset 16007  df-symg 17844
This theorem is referenced by:  symgfixfo  17905
  Copyright terms: Public domain W3C validator