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Theorem ttukeylem3 9277
Description: Lemma for ttukey 9284. (Contributed by Mario Carneiro, 11-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ttukeylem.1 (𝜑𝐹:(card‘( 𝐴𝐵))–1-1-onto→( 𝐴𝐵))
ttukeylem.2 (𝜑𝐵𝐴)
ttukeylem.3 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴))
ttukeylem.4 𝐺 = recs((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧), ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅)))))
Assertion
Ref Expression
ttukeylem3 ((𝜑𝐶 ∈ On) → (𝐺𝐶) = if(𝐶 = 𝐶, if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)), ((𝐺 𝐶) ∪ if(((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐶   𝑥,𝐺,𝑧   𝜑,𝑧   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐵,𝑧   𝑥,𝐹,𝑧
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem ttukeylem3
StepHypRef Expression
1 ttukeylem.4 . . . 4 𝐺 = recs((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧), ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅)))))
21tfr2 7439 . . 3 (𝐶 ∈ On → (𝐺𝐶) = ((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧), ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅))))‘(𝐺𝐶)))
32adantl 482 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ On) → (𝐺𝐶) = ((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧), ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅))))‘(𝐺𝐶)))
4 eqidd 2622 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ On) → (𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧), ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅)))) = (𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧), ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅)))))
5 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → 𝑧 = (𝐺𝐶))
65dmeqd 5286 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → dom 𝑧 = dom (𝐺𝐶))
71tfr1 7438 . . . . . . . . 9 𝐺 Fn On
8 onss 6937 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ On → 𝐶 ⊆ On)
98ad2antlr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → 𝐶 ⊆ On)
10 fnssres 5962 . . . . . . . . 9 ((𝐺 Fn On ∧ 𝐶 ⊆ On) → (𝐺𝐶) Fn 𝐶)
117, 9, 10sylancr 694 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → (𝐺𝐶) Fn 𝐶)
12 fndm 5948 . . . . . . . 8 ((𝐺𝐶) Fn 𝐶 → dom (𝐺𝐶) = 𝐶)
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → dom (𝐺𝐶) = 𝐶)
146, 13eqtrd 2655 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → dom 𝑧 = 𝐶)
1514unieqd 4412 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → dom 𝑧 = 𝐶)
1614, 15eqeq12d 2636 . . . . 5 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → (dom 𝑧 = dom 𝑧𝐶 = 𝐶))
1714eqeq1d 2623 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → (dom 𝑧 = ∅ ↔ 𝐶 = ∅))
185rneqd 5313 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → ran 𝑧 = ran (𝐺𝐶))
19 df-ima 5087 . . . . . . . 8 (𝐺𝐶) = ran (𝐺𝐶)
2018, 19syl6eqr 2673 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → ran 𝑧 = (𝐺𝐶))
2120unieqd 4412 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → ran 𝑧 = (𝐺𝐶))
2217, 21ifbieq2d 4083 . . . . 5 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧) = if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)))
235, 15fveq12d 6154 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → (𝑧 dom 𝑧) = ((𝐺𝐶)‘ 𝐶))
2415fveq2d 6152 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → (𝐹 dom 𝑧) = (𝐹 𝐶))
2524sneqd 4160 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → {(𝐹 dom 𝑧)} = {(𝐹 𝐶)})
2623, 25uneq12d 3746 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → ((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) = (((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}))
2726eleq1d 2683 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → (((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴 ↔ (((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴))
28 eqidd 2622 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → ∅ = ∅)
2927, 25, 28ifbieq12d 4085 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅) = if((((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅))
3023, 29uneq12d 3746 . . . . 5 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅)) = (((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ if((((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅)))
3116, 22, 30ifbieq12d 4085 . . . 4 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → if(dom 𝑧 = dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧), ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅))) = if(𝐶 = 𝐶, if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)), (((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ if((((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅))))
32 onuni 6940 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ On → 𝐶 ∈ On)
3332ad3antlr 766 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) ∧ ¬ 𝐶 = 𝐶) → 𝐶 ∈ On)
34 sucidg 5762 . . . . . . . . 9 ( 𝐶 ∈ On → 𝐶 ∈ suc 𝐶)
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) ∧ ¬ 𝐶 = 𝐶) → 𝐶 ∈ suc 𝐶)
36 eloni 5692 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ On → Ord 𝐶)
3736ad2antlr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → Ord 𝐶)
38 orduniorsuc 6977 . . . . . . . . . 10 (Ord 𝐶 → (𝐶 = 𝐶𝐶 = suc 𝐶))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → (𝐶 = 𝐶𝐶 = suc 𝐶))
4039orcanai 951 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) ∧ ¬ 𝐶 = 𝐶) → 𝐶 = suc 𝐶)
4135, 40eleqtrrd 2701 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) ∧ ¬ 𝐶 = 𝐶) → 𝐶𝐶)
42 fvres 6164 . . . . . . 7 ( 𝐶𝐶 → ((𝐺𝐶)‘ 𝐶) = (𝐺 𝐶))
4341, 42syl 17 . . . . . 6 ((((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) ∧ ¬ 𝐶 = 𝐶) → ((𝐺𝐶)‘ 𝐶) = (𝐺 𝐶))
4443uneq1d 3744 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) ∧ ¬ 𝐶 = 𝐶) → (((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) = ((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}))
4544eleq1d 2683 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) ∧ ¬ 𝐶 = 𝐶) → ((((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴 ↔ ((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴))
4645ifbid 4080 . . . . . 6 ((((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) ∧ ¬ 𝐶 = 𝐶) → if((((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅) = if(((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅))
4743, 46uneq12d 3746 . . . . 5 ((((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) ∧ ¬ 𝐶 = 𝐶) → (((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ if((((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅)) = ((𝐺 𝐶) ∪ if(((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅)))
4847ifeq2da 4089 . . . 4 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → if(𝐶 = 𝐶, if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)), (((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ if((((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅))) = if(𝐶 = 𝐶, if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)), ((𝐺 𝐶) ∪ if(((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅))))
4931, 48eqtrd 2655 . . 3 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → if(dom 𝑧 = dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧), ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅))) = if(𝐶 = 𝐶, if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)), ((𝐺 𝐶) ∪ if(((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅))))
50 fnfun 5946 . . . . 5 (𝐺 Fn On → Fun 𝐺)
517, 50ax-mp 5 . . . 4 Fun 𝐺
52 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ On) → 𝐶 ∈ On)
53 resfunexg 6433 . . . 4 ((Fun 𝐺𝐶 ∈ On) → (𝐺𝐶) ∈ V)
5451, 52, 53sylancr 694 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ On) → (𝐺𝐶) ∈ V)
55 ttukeylem.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐴)
56 elex 3198 . . . . . 6 (𝐵𝐴𝐵 ∈ V)
5755, 56syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ V)
58 funimaexg 5933 . . . . . . 7 ((Fun 𝐺𝐶 ∈ On) → (𝐺𝐶) ∈ V)
5951, 58mpan 705 . . . . . 6 (𝐶 ∈ On → (𝐺𝐶) ∈ V)
60 uniexg 6908 . . . . . 6 ((𝐺𝐶) ∈ V → (𝐺𝐶) ∈ V)
6159, 60syl 17 . . . . 5 (𝐶 ∈ On → (𝐺𝐶) ∈ V)
62 ifcl 4102 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ (𝐺𝐶) ∈ V) → if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)) ∈ V)
6357, 61, 62syl2an 494 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ On) → if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)) ∈ V)
64 fvex 6158 . . . . 5 (𝐺 𝐶) ∈ V
65 snex 4869 . . . . . 6 {(𝐹 𝐶)} ∈ V
66 0ex 4750 . . . . . 6 ∅ ∈ V
6765, 66ifex 4128 . . . . 5 if(((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅) ∈ V
6864, 67unex 6909 . . . 4 ((𝐺 𝐶) ∪ if(((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅)) ∈ V
69 ifcl 4102 . . . 4 ((if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)) ∈ V ∧ ((𝐺 𝐶) ∪ if(((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅)) ∈ V) → if(𝐶 = 𝐶, if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)), ((𝐺 𝐶) ∪ if(((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅))) ∈ V)
7063, 68, 69sylancl 693 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ On) → if(𝐶 = 𝐶, if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)), ((𝐺 𝐶) ∪ if(((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅))) ∈ V)
714, 49, 54, 70fvmptd 6245 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ On) → ((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧), ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅))))‘(𝐺𝐶)) = if(𝐶 = 𝐶, if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)), ((𝐺 𝐶) ∪ if(((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅))))
723, 71eqtrd 2655 1 ((𝜑𝐶 ∈ On) → (𝐺𝐶) = if(𝐶 = 𝐶, if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)), ((𝐺 𝐶) ∪ if(((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  wal 1478   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  cdif 3552  cun 3553  cin 3554  wss 3555  c0 3891  ifcif 4058  𝒫 cpw 4130  {csn 4148   cuni 4402  cmpt 4673  dom cdm 5074  ran crn 5075  cres 5076  cima 5077  Ord word 5681  Oncon0 5682  suc csuc 5684  Fun wfun 5841   Fn wfn 5842  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847  recscrecs 7412  Fincfn 7899  cardccrd 8705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-wrecs 7352  df-recs 7413
This theorem is referenced by:  ttukeylem4  9278  ttukeylem5  9279  ttukeylem6  9280  ttukeylem7  9281
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