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Theorem ttukeylem3 9525
 Description: Lemma for ttukey 9532. (Contributed by Mario Carneiro, 11-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ttukeylem.1 (𝜑𝐹:(card‘( 𝐴𝐵))–1-1-onto→( 𝐴𝐵))
ttukeylem.2 (𝜑𝐵𝐴)
ttukeylem.3 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴))
ttukeylem.4 𝐺 = recs((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧), ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅)))))
Assertion
Ref Expression
ttukeylem3 ((𝜑𝐶 ∈ On) → (𝐺𝐶) = if(𝐶 = 𝐶, if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)), ((𝐺 𝐶) ∪ if(((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐶   𝑥,𝐺,𝑧   𝜑,𝑧   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐵,𝑧   𝑥,𝐹,𝑧
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem ttukeylem3
StepHypRef Expression
1 ttukeylem.4 . . . 4 𝐺 = recs((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧), ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅)))))
21tfr2 7663 . . 3 (𝐶 ∈ On → (𝐺𝐶) = ((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧), ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅))))‘(𝐺𝐶)))
32adantl 473 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ On) → (𝐺𝐶) = ((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧), ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅))))‘(𝐺𝐶)))
4 eqidd 2761 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ On) → (𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧), ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅)))) = (𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧), ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅)))))
5 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → 𝑧 = (𝐺𝐶))
65dmeqd 5481 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → dom 𝑧 = dom (𝐺𝐶))
71tfr1 7662 . . . . . . . . 9 𝐺 Fn On
8 onss 7155 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ On → 𝐶 ⊆ On)
98ad2antlr 765 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → 𝐶 ⊆ On)
10 fnssres 6165 . . . . . . . . 9 ((𝐺 Fn On ∧ 𝐶 ⊆ On) → (𝐺𝐶) Fn 𝐶)
117, 9, 10sylancr 698 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → (𝐺𝐶) Fn 𝐶)
12 fndm 6151 . . . . . . . 8 ((𝐺𝐶) Fn 𝐶 → dom (𝐺𝐶) = 𝐶)
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → dom (𝐺𝐶) = 𝐶)
146, 13eqtrd 2794 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → dom 𝑧 = 𝐶)
1514unieqd 4598 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → dom 𝑧 = 𝐶)
1614, 15eqeq12d 2775 . . . . 5 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → (dom 𝑧 = dom 𝑧𝐶 = 𝐶))
1714eqeq1d 2762 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → (dom 𝑧 = ∅ ↔ 𝐶 = ∅))
185rneqd 5508 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → ran 𝑧 = ran (𝐺𝐶))
19 df-ima 5279 . . . . . . . 8 (𝐺𝐶) = ran (𝐺𝐶)
2018, 19syl6eqr 2812 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → ran 𝑧 = (𝐺𝐶))
2120unieqd 4598 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → ran 𝑧 = (𝐺𝐶))
2217, 21ifbieq2d 4255 . . . . 5 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧) = if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)))
235, 15fveq12d 6358 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → (𝑧 dom 𝑧) = ((𝐺𝐶)‘ 𝐶))
2415fveq2d 6356 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → (𝐹 dom 𝑧) = (𝐹 𝐶))
2524sneqd 4333 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → {(𝐹 dom 𝑧)} = {(𝐹 𝐶)})
2623, 25uneq12d 3911 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → ((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) = (((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}))
2726eleq1d 2824 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → (((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴 ↔ (((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴))
28 eqidd 2761 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → ∅ = ∅)
2927, 25, 28ifbieq12d 4257 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅) = if((((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅))
3023, 29uneq12d 3911 . . . . 5 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅)) = (((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ if((((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅)))
3116, 22, 30ifbieq12d 4257 . . . 4 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → if(dom 𝑧 = dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧), ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅))) = if(𝐶 = 𝐶, if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)), (((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ if((((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅))))
32 onuni 7158 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ On → 𝐶 ∈ On)
3332ad3antlr 769 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) ∧ ¬ 𝐶 = 𝐶) → 𝐶 ∈ On)
34 sucidg 5964 . . . . . . . . 9 ( 𝐶 ∈ On → 𝐶 ∈ suc 𝐶)
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) ∧ ¬ 𝐶 = 𝐶) → 𝐶 ∈ suc 𝐶)
36 eloni 5894 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ On → Ord 𝐶)
3736ad2antlr 765 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → Ord 𝐶)
38 orduniorsuc 7195 . . . . . . . . . 10 (Ord 𝐶 → (𝐶 = 𝐶𝐶 = suc 𝐶))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → (𝐶 = 𝐶𝐶 = suc 𝐶))
4039orcanai 990 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) ∧ ¬ 𝐶 = 𝐶) → 𝐶 = suc 𝐶)
4135, 40eleqtrrd 2842 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) ∧ ¬ 𝐶 = 𝐶) → 𝐶𝐶)
42 fvres 6368 . . . . . . 7 ( 𝐶𝐶 → ((𝐺𝐶)‘ 𝐶) = (𝐺 𝐶))
4341, 42syl 17 . . . . . 6 ((((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) ∧ ¬ 𝐶 = 𝐶) → ((𝐺𝐶)‘ 𝐶) = (𝐺 𝐶))
4443uneq1d 3909 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) ∧ ¬ 𝐶 = 𝐶) → (((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) = ((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}))
4544eleq1d 2824 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) ∧ ¬ 𝐶 = 𝐶) → ((((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴 ↔ ((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴))
4645ifbid 4252 . . . . . 6 ((((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) ∧ ¬ 𝐶 = 𝐶) → if((((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅) = if(((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅))
4743, 46uneq12d 3911 . . . . 5 ((((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) ∧ ¬ 𝐶 = 𝐶) → (((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ if((((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅)) = ((𝐺 𝐶) ∪ if(((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅)))
4847ifeq2da 4261 . . . 4 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → if(𝐶 = 𝐶, if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)), (((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ if((((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅))) = if(𝐶 = 𝐶, if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)), ((𝐺 𝐶) ∪ if(((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅))))
4931, 48eqtrd 2794 . . 3 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → if(dom 𝑧 = dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧), ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅))) = if(𝐶 = 𝐶, if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)), ((𝐺 𝐶) ∪ if(((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅))))
50 fnfun 6149 . . . . 5 (𝐺 Fn On → Fun 𝐺)
517, 50ax-mp 5 . . . 4 Fun 𝐺
52 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ On) → 𝐶 ∈ On)
53 resfunexg 6643 . . . 4 ((Fun 𝐺𝐶 ∈ On) → (𝐺𝐶) ∈ V)
5451, 52, 53sylancr 698 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ On) → (𝐺𝐶) ∈ V)
55 ttukeylem.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐴)
56 elex 3352 . . . . . 6 (𝐵𝐴𝐵 ∈ V)
5755, 56syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ V)
58 funimaexg 6136 . . . . . . 7 ((Fun 𝐺𝐶 ∈ On) → (𝐺𝐶) ∈ V)
5951, 58mpan 708 . . . . . 6 (𝐶 ∈ On → (𝐺𝐶) ∈ V)
60 uniexg 7120 . . . . . 6 ((𝐺𝐶) ∈ V → (𝐺𝐶) ∈ V)
6159, 60syl 17 . . . . 5 (𝐶 ∈ On → (𝐺𝐶) ∈ V)
62 ifcl 4274 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ (𝐺𝐶) ∈ V) → if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)) ∈ V)
6357, 61, 62syl2an 495 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ On) → if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)) ∈ V)
64 fvex 6362 . . . . 5 (𝐺 𝐶) ∈ V
65 snex 5057 . . . . . 6 {(𝐹 𝐶)} ∈ V
66 0ex 4942 . . . . . 6 ∅ ∈ V
6765, 66ifex 4300 . . . . 5 if(((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅) ∈ V
6864, 67unex 7121 . . . 4 ((𝐺 𝐶) ∪ if(((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅)) ∈ V
69 ifcl 4274 . . . 4 ((if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)) ∈ V ∧ ((𝐺 𝐶) ∪ if(((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅)) ∈ V) → if(𝐶 = 𝐶, if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)), ((𝐺 𝐶) ∪ if(((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅))) ∈ V)
7063, 68, 69sylancl 697 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ On) → if(𝐶 = 𝐶, if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)), ((𝐺 𝐶) ∪ if(((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅))) ∈ V)
714, 49, 54, 70fvmptd 6450 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ On) → ((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧), ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅))))‘(𝐺𝐶)) = if(𝐶 = 𝐶, if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)), ((𝐺 𝐶) ∪ if(((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅))))
723, 71eqtrd 2794 1 ((𝜑𝐶 ∈ On) → (𝐺𝐶) = if(𝐶 = 𝐶, if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)), ((𝐺 𝐶) ∪ if(((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383  ∀wal 1630   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   ∖ cdif 3712   ∪ cun 3713   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  ifcif 4230  𝒫 cpw 4302  {csn 4321  ∪ cuni 4588   ↦ cmpt 4881  dom cdm 5266  ran crn 5267   ↾ cres 5268   “ cima 5269  Ord word 5883  Oncon0 5884  suc csuc 5886  Fun wfun 6043   Fn wfn 6044  –1-1-onto→wf1o 6048  ‘cfv 6049  recscrecs 7636  Fincfn 8121  cardccrd 8951 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-wrecs 7576  df-recs 7637 This theorem is referenced by:  ttukeylem4  9526  ttukeylem5  9527  ttukeylem6  9528  ttukeylem7  9529
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