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Theorem ttukeylem6 9374
Description: Lemma for ttukey 9378. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ttukeylem.1 (𝜑𝐹:(card‘( 𝐴𝐵))–1-1-onto→( 𝐴𝐵))
ttukeylem.2 (𝜑𝐵𝐴)
ttukeylem.3 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴))
ttukeylem.4 𝐺 = recs((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧), ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅)))))
Assertion
Ref Expression
ttukeylem6 ((𝜑𝐶 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵))) → (𝐺𝐶) ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐶   𝑥,𝐺,𝑧   𝜑,𝑧   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐵,𝑧   𝑥,𝐹,𝑧
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem ttukeylem6
Dummy variables 𝑎 𝑦 𝑓 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cardon 8808 . . . . 5 (card‘( 𝐴𝐵)) ∈ On
21onsuci 7080 . . . 4 suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∈ On
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∈ On)
4 onelon 5786 . . 3 ((suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∈ On ∧ 𝐶 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵))) → 𝐶 ∈ On)
53, 4sylan 487 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵))) → 𝐶 ∈ On)
6 eleq1 2718 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑎 → (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ↔ 𝑎 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵))))
7 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑎 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑎))
87eleq1d 2715 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑎 → ((𝐺𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (𝐺𝑎) ∈ 𝐴))
96, 8imbi12d 333 . . . . 5 (𝑦 = 𝑎 → ((𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐴) ↔ (𝑎 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) → (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)))
109imbi2d 329 . . . 4 (𝑦 = 𝑎 → ((𝜑 → (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐴)) ↔ (𝜑 → (𝑎 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) → (𝐺𝑎) ∈ 𝐴))))
11 eleq1 2718 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ↔ 𝐶 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵))))
12 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐶 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝐶))
1312eleq1d 2715 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐶 → ((𝐺𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (𝐺𝐶) ∈ 𝐴))
1411, 13imbi12d 333 . . . . 5 (𝑦 = 𝐶 → ((𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐴) ↔ (𝐶 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) → (𝐺𝐶) ∈ 𝐴)))
1514imbi2d 329 . . . 4 (𝑦 = 𝐶 → ((𝜑 → (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐴)) ↔ (𝜑 → (𝐶 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) → (𝐺𝐶) ∈ 𝐴))))
16 r19.21v 2989 . . . . . 6 (∀𝑎𝑦 (𝜑 → (𝑎 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) → (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ↔ (𝜑 → ∀𝑎𝑦 (𝑎 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) → (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)))
172onordi 5870 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ord suc (card‘( 𝐴𝐵))
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Ord suc (card‘( 𝐴𝐵)))
19 ordelss 5777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Ord suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵))) → 𝑦 ⊆ suc (card‘( 𝐴𝐵)))
2018, 19sylan 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵))) → 𝑦 ⊆ suc (card‘( 𝐴𝐵)))
2120sselda 3636 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵))) ∧ 𝑎𝑦) → 𝑎 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)))
22 biimt 349 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) → ((𝐺𝑎) ∈ 𝐴 ↔ (𝑎 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) → (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵))) ∧ 𝑎𝑦) → ((𝐺𝑎) ∈ 𝐴 ↔ (𝑎 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) → (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)))
2423ralbidva 3014 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵))) → (∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑎𝑦 (𝑎 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) → (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)))
252onssi 7079 . . . . . . . . . . . . . 14 suc (card‘( 𝐴𝐵)) ⊆ On
26 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)))
2725, 26sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ On)
28 ttukeylem.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:(card‘( 𝐴𝐵))–1-1-onto→( 𝐴𝐵))
29 ttukeylem.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵𝐴)
30 ttukeylem.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴))
31 ttukeylem.4 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐺 = recs((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧), ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅)))))
3228, 29, 30, 31ttukeylem3 9371 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ On) → (𝐺𝑦) = if(𝑦 = 𝑦, if(𝑦 = ∅, 𝐵, (𝐺𝑦)), ((𝐺 𝑦) ∪ if(((𝐺 𝑦) ∪ {(𝐹 𝑦)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝑦)}, ∅))))
3327, 32syldan 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) → (𝐺𝑦) = if(𝑦 = 𝑦, if(𝑦 = ∅, 𝐵, (𝐺𝑦)), ((𝐺 𝑦) ∪ if(((𝐺 𝑦) ∪ {(𝐹 𝑦)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝑦)}, ∅))))
3429ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ 𝑦 = ∅) → 𝐵𝐴)
35 inss2 3867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin) ⊆ Fin
36 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin)) → 𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin))
3735, 36sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin)) → 𝑤 ∈ Fin)
38 inss1 3866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 (𝐺𝑦)
3938, 36sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin)) → 𝑤 ∈ 𝒫 (𝐺𝑦))
4039elpwid 4203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin)) → 𝑤 (𝐺𝑦))
4131tfr1 7538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐺 Fn On
42 fnfun 6026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐺 Fn On → Fun 𝐺)
43 funiunfv 6546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Fun 𝐺 𝑣𝑦 (𝐺𝑣) = (𝐺𝑦))
4441, 42, 43mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑣𝑦 (𝐺𝑣) = (𝐺𝑦)
4540, 44syl6sseqr 3685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin)) → 𝑤 𝑣𝑦 (𝐺𝑣))
46 dfss3 3625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 𝑣𝑦 (𝐺𝑣) ↔ ∀𝑢𝑤 𝑢 𝑣𝑦 (𝐺𝑣))
47 eliun 4556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑢 𝑣𝑦 (𝐺𝑣) ↔ ∃𝑣𝑦 𝑢 ∈ (𝐺𝑣))
4847ralbii 3009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑢𝑤 𝑢 𝑣𝑦 (𝐺𝑣) ↔ ∀𝑢𝑤𝑣𝑦 𝑢 ∈ (𝐺𝑣))
4946, 48bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 𝑣𝑦 (𝐺𝑣) ↔ ∀𝑢𝑤𝑣𝑦 𝑢 ∈ (𝐺𝑣))
5045, 49sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin)) → ∀𝑢𝑤𝑣𝑦 𝑢 ∈ (𝐺𝑣))
51 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣 = (𝑓𝑢) → (𝐺𝑣) = (𝐺‘(𝑓𝑢)))
5251eleq2d 2716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 = (𝑓𝑢) → (𝑢 ∈ (𝐺𝑣) ↔ 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝑓𝑢))))
5352ac6sfi 8245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑤 ∈ Fin ∧ ∀𝑢𝑤𝑣𝑦 𝑢 ∈ (𝐺𝑣)) → ∃𝑓(𝑓:𝑤𝑦 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝑓𝑢))))
5437, 50, 53syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin)) → ∃𝑓(𝑓:𝑤𝑦 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝑓𝑢))))
55 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 = ∅ → (𝑤𝐴 ↔ ∅ ∈ 𝐴))
56 simp-4l 823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin) ∧ (𝑓:𝑤𝑦 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝑓𝑢))))) ∧ 𝑤 ≠ ∅) → 𝜑)
57 simprrl 821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin) ∧ (𝑓:𝑤𝑦 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝑓𝑢))))) → 𝑓:𝑤𝑦)
5857adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin) ∧ (𝑓:𝑤𝑦 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝑓𝑢))))) ∧ 𝑤 ≠ ∅) → 𝑓:𝑤𝑦)
59 frn 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓:𝑤𝑦 → ran 𝑓𝑦)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin) ∧ (𝑓:𝑤𝑦 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝑓𝑢))))) ∧ 𝑤 ≠ ∅) → ran 𝑓𝑦)
6127ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin) ∧ (𝑓:𝑤𝑦 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝑓𝑢))))) ∧ 𝑤 ≠ ∅) → 𝑦 ∈ On)
62 onss 7032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ On → 𝑦 ⊆ On)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin) ∧ (𝑓:𝑤𝑦 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝑓𝑢))))) ∧ 𝑤 ≠ ∅) → 𝑦 ⊆ On)
6460, 63sstrd 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin) ∧ (𝑓:𝑤𝑦 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝑓𝑢))))) ∧ 𝑤 ≠ ∅) → ran 𝑓 ⊆ On)
6537adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin) ∧ (𝑓:𝑤𝑦 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝑓𝑢))))) → 𝑤 ∈ Fin)
6665adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin) ∧ (𝑓:𝑤𝑦 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝑓𝑢))))) ∧ 𝑤 ≠ ∅) → 𝑤 ∈ Fin)
67 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑓:𝑤𝑦𝑓 Fn 𝑤)
6858, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin) ∧ (𝑓:𝑤𝑦 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝑓𝑢))))) ∧ 𝑤 ≠ ∅) → 𝑓 Fn 𝑤)
69 dffn4 6159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑓 Fn 𝑤𝑓:𝑤onto→ran 𝑓)
7068, 69sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin) ∧ (𝑓:𝑤𝑦 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝑓𝑢))))) ∧ 𝑤 ≠ ∅) → 𝑓:𝑤onto→ran 𝑓)
71 fofi 8293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑤onto→ran 𝑓) → ran 𝑓 ∈ Fin)
7266, 70, 71syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin) ∧ (𝑓:𝑤𝑦 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝑓𝑢))))) ∧ 𝑤 ≠ ∅) → ran 𝑓 ∈ Fin)
73 dm0rn0 5374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (dom 𝑓 = ∅ ↔ ran 𝑓 = ∅)
74 fdm 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑓:𝑤𝑦 → dom 𝑓 = 𝑤)
7557, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin) ∧ (𝑓:𝑤𝑦 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝑓𝑢))))) → dom 𝑓 = 𝑤)
7675eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin) ∧ (𝑓:𝑤𝑦 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝑓𝑢))))) → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝑤 = ∅))
7773, 76syl5bbr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin) ∧ (𝑓:𝑤𝑦 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝑓𝑢))))) → (ran 𝑓 = ∅ ↔ 𝑤 = ∅))
7877necon3bid 2867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin) ∧ (𝑓:𝑤𝑦 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝑓𝑢))))) → (ran 𝑓 ≠ ∅ ↔ 𝑤 ≠ ∅))
7978biimpar 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin) ∧ (𝑓:𝑤𝑦 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝑓𝑢))))) ∧ 𝑤 ≠ ∅) → ran 𝑓 ≠ ∅)
80 ordunifi 8251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((ran 𝑓 ⊆ On ∧ ran 𝑓 ∈ Fin ∧ ran 𝑓 ≠ ∅) → ran 𝑓 ∈ ran 𝑓)
8164, 72, 79, 80syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin) ∧ (𝑓:𝑤𝑦 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝑓𝑢))))) ∧ 𝑤 ≠ ∅) → ran 𝑓 ∈ ran 𝑓)
8260, 81sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin) ∧ (𝑓:𝑤𝑦 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝑓𝑢))))) ∧ 𝑤 ≠ ∅) → ran 𝑓𝑦)
83 simplrr 818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) → ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)
8483ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin) ∧ (𝑓:𝑤𝑦 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝑓𝑢))))) ∧ 𝑤 ≠ ∅) → ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)
85 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑎 = ran 𝑓 → (𝐺𝑎) = (𝐺 ran 𝑓))
8685eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑎 = ran 𝑓 → ((𝐺𝑎) ∈ 𝐴 ↔ (𝐺 ran 𝑓) ∈ 𝐴))
8786rspcv 3336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ( ran 𝑓𝑦 → (∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴 → (𝐺 ran 𝑓) ∈ 𝐴))
8882, 84, 87sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin) ∧ (𝑓:𝑤𝑦 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝑓𝑢))))) ∧ 𝑤 ≠ ∅) → (𝐺 ran 𝑓) ∈ 𝐴)
89 simp-4l 823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin)) ∧ (𝑓:𝑤𝑦𝑢𝑤)) → 𝜑)
9027ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin)) ∧ (𝑓:𝑤𝑦𝑢𝑤)) → 𝑦 ∈ On)
9190, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin)) ∧ (𝑓:𝑤𝑦𝑢𝑤)) → 𝑦 ⊆ On)
92 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑓:𝑤𝑦𝑢𝑤) → (𝑓𝑢) ∈ 𝑦)
9392adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin)) ∧ (𝑓:𝑤𝑦𝑢𝑤)) → (𝑓𝑢) ∈ 𝑦)
9491, 93sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin)) ∧ (𝑓:𝑤𝑦𝑢𝑤)) → (𝑓𝑢) ∈ On)
9559ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin)) ∧ (𝑓:𝑤𝑦𝑢𝑤)) → ran 𝑓𝑦)
9695, 91sstrd 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin)) ∧ (𝑓:𝑤𝑦𝑢𝑤)) → ran 𝑓 ⊆ On)
97 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 𝑓 ∈ V
9897rnex 7142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ran 𝑓 ∈ V
9998ssonunii 7029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (ran 𝑓 ⊆ On → ran 𝑓 ∈ On)
10096, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin)) ∧ (𝑓:𝑤𝑦𝑢𝑤)) → ran 𝑓 ∈ On)
10167ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin)) ∧ (𝑓:𝑤𝑦𝑢𝑤)) → 𝑓 Fn 𝑤)
102 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin)) ∧ (𝑓:𝑤𝑦𝑢𝑤)) → 𝑢𝑤)
103 fnfvelrn 6396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑓 Fn 𝑤𝑢𝑤) → (𝑓𝑢) ∈ ran 𝑓)
104101, 102, 103syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin)) ∧ (𝑓:𝑤𝑦𝑢𝑤)) → (𝑓𝑢) ∈ ran 𝑓)
105 elssuni 4499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑓𝑢) ∈ ran 𝑓 → (𝑓𝑢) ⊆ ran 𝑓)
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin)) ∧ (𝑓:𝑤𝑦𝑢𝑤)) → (𝑓𝑢) ⊆ ran 𝑓)
10728, 29, 30, 31ttukeylem5 9373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ ((𝑓𝑢) ∈ On ∧ ran 𝑓 ∈ On ∧ (𝑓𝑢) ⊆ ran 𝑓)) → (𝐺‘(𝑓𝑢)) ⊆ (𝐺 ran 𝑓))
10889, 94, 100, 106, 107syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin)) ∧ (𝑓:𝑤𝑦𝑢𝑤)) → (𝐺‘(𝑓𝑢)) ⊆ (𝐺 ran 𝑓))
109108sseld 3635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin)) ∧ (𝑓:𝑤𝑦𝑢𝑤)) → (𝑢 ∈ (𝐺‘(𝑓𝑢)) → 𝑢 ∈ (𝐺 ran 𝑓)))
110109anassrs 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin)) ∧ 𝑓:𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → (𝑢 ∈ (𝐺‘(𝑓𝑢)) → 𝑢 ∈ (𝐺 ran 𝑓)))
111110ralimdva 2991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin)) ∧ 𝑓:𝑤𝑦) → (∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝑓𝑢)) → ∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺 ran 𝑓)))
112111expimpd 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin)) → ((𝑓:𝑤𝑦 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝑓𝑢))) → ∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺 ran 𝑓)))
113112impr 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin) ∧ (𝑓:𝑤𝑦 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝑓𝑢))))) → ∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺 ran 𝑓))
114113adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin) ∧ (𝑓:𝑤𝑦 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝑓𝑢))))) ∧ 𝑤 ≠ ∅) → ∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺 ran 𝑓))
115 dfss3 3625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 ⊆ (𝐺 ran 𝑓) ↔ ∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺 ran 𝑓))
116114, 115sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin) ∧ (𝑓:𝑤𝑦 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝑓𝑢))))) ∧ 𝑤 ≠ ∅) → 𝑤 ⊆ (𝐺 ran 𝑓))
11728, 29, 30ttukeylem2 9370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ ((𝐺 ran 𝑓) ∈ 𝐴𝑤 ⊆ (𝐺 ran 𝑓))) → 𝑤𝐴)
11856, 88, 116, 117syl12anc 1364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin) ∧ (𝑓:𝑤𝑦 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝑓𝑢))))) ∧ 𝑤 ≠ ∅) → 𝑤𝐴)
119 0ss 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ∅ ⊆ 𝐵
12028, 29, 30ttukeylem2 9370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴 ∧ ∅ ⊆ 𝐵)) → ∅ ∈ 𝐴)
121119, 120mpanr2 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝐵𝐴) → ∅ ∈ 𝐴)
12229, 121mpdan 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
123122ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin) ∧ (𝑓:𝑤𝑦 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝑓𝑢))))) → ∅ ∈ 𝐴)
12455, 118, 123pm2.61ne 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin) ∧ (𝑓:𝑤𝑦 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝑓𝑢))))) → 𝑤𝐴)
125124expr 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin)) → ((𝑓:𝑤𝑦 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝑓𝑢))) → 𝑤𝐴))
126125exlimdv 1901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin)) → (∃𝑓(𝑓:𝑤𝑦 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝑓𝑢))) → 𝑤𝐴))
12754, 126mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin)) → 𝑤𝐴)
128127ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) → (𝑤 ∈ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin) → 𝑤𝐴))
129128ssrdv 3642 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) → (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin) ⊆ 𝐴)
13028, 29, 30ttukeylem1 9369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ( (𝐺𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin) ⊆ 𝐴))
131130ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) → ( (𝐺𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 (𝐺𝑦) ∩ Fin) ⊆ 𝐴))
132129, 131mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐴)
133132adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐴)
13434, 133ifclda 4153 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑦) → if(𝑦 = ∅, 𝐵, (𝐺𝑦)) ∈ 𝐴)
135 uneq2 3794 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({(𝐹 𝑦)} = if(((𝐺 𝑦) ∪ {(𝐹 𝑦)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝑦)}, ∅) → ((𝐺 𝑦) ∪ {(𝐹 𝑦)}) = ((𝐺 𝑦) ∪ if(((𝐺 𝑦) ∪ {(𝐹 𝑦)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝑦)}, ∅)))
136135eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . 14 ({(𝐹 𝑦)} = if(((𝐺 𝑦) ∪ {(𝐹 𝑦)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝑦)}, ∅) → (((𝐺 𝑦) ∪ {(𝐹 𝑦)}) ∈ 𝐴 ↔ ((𝐺 𝑦) ∪ if(((𝐺 𝑦) ∪ {(𝐹 𝑦)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝑦)}, ∅)) ∈ 𝐴))
137 un0 4000 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 𝑦) ∪ ∅) = (𝐺 𝑦)
138 uneq2 3794 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∅ = if(((𝐺 𝑦) ∪ {(𝐹 𝑦)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝑦)}, ∅) → ((𝐺 𝑦) ∪ ∅) = ((𝐺 𝑦) ∪ if(((𝐺 𝑦) ∪ {(𝐹 𝑦)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝑦)}, ∅)))
139137, 138syl5eqr 2699 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∅ = if(((𝐺 𝑦) ∪ {(𝐹 𝑦)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝑦)}, ∅) → (𝐺 𝑦) = ((𝐺 𝑦) ∪ if(((𝐺 𝑦) ∪ {(𝐹 𝑦)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝑦)}, ∅)))
140139eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . 14 (∅ = if(((𝐺 𝑦) ∪ {(𝐹 𝑦)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝑦)}, ∅) → ((𝐺 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ ((𝐺 𝑦) ∪ if(((𝐺 𝑦) ∪ {(𝐹 𝑦)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝑦)}, ∅)) ∈ 𝐴))
141 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑦) ∧ ((𝐺 𝑦) ∪ {(𝐹 𝑦)}) ∈ 𝐴) → ((𝐺 𝑦) ∪ {(𝐹 𝑦)}) ∈ 𝐴)
142 vuniex 6996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦 ∈ V
143142sucid 5842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦 ∈ suc 𝑦
144 eloni 5771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ On → Ord 𝑦)
145 orduniorsuc 7072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Ord 𝑦 → (𝑦 = 𝑦𝑦 = suc 𝑦))
14627, 144, 1453syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) → (𝑦 = 𝑦𝑦 = suc 𝑦))
147146orcanai 972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑦) → 𝑦 = suc 𝑦)
148143, 147syl5eleqr 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑦) → 𝑦𝑦)
149 simplrr 818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑦) → ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)
150 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 𝑦 → (𝐺𝑎) = (𝐺 𝑦))
151150eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 𝑦 → ((𝐺𝑎) ∈ 𝐴 ↔ (𝐺 𝑦) ∈ 𝐴))
152151rspcv 3336 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( 𝑦𝑦 → (∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴 → (𝐺 𝑦) ∈ 𝐴))
153148, 149, 152sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑦) → (𝐺 𝑦) ∈ 𝐴)
154153adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑦) ∧ ¬ ((𝐺 𝑦) ∪ {(𝐹 𝑦)}) ∈ 𝐴) → (𝐺 𝑦) ∈ 𝐴)
155136, 140, 141, 154ifbothda 4156 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑦) → ((𝐺 𝑦) ∪ if(((𝐺 𝑦) ∪ {(𝐹 𝑦)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝑦)}, ∅)) ∈ 𝐴)
156134, 155ifclda 4153 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) → if(𝑦 = 𝑦, if(𝑦 = ∅, 𝐵, (𝐺𝑦)), ((𝐺 𝑦) ∪ if(((𝐺 𝑦) ∪ {(𝐹 𝑦)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝑦)}, ∅))) ∈ 𝐴)
15733, 156eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐴)
158157expr 642 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵))) → (∀𝑎𝑦 (𝐺𝑎) ∈ 𝐴 → (𝐺𝑦) ∈ 𝐴))
15924, 158sylbird 250 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵))) → (∀𝑎𝑦 (𝑎 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) → (𝐺𝑎) ∈ 𝐴) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐴))
160159ex 449 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) → (∀𝑎𝑦 (𝑎 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) → (𝐺𝑎) ∈ 𝐴) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐴)))
161160com23 86 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑎𝑦 (𝑎 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) → (𝐺𝑎) ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐴)))
162161a2i 14 . . . . . 6 ((𝜑 → ∀𝑎𝑦 (𝑎 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) → (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) → (𝜑 → (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐴)))
16316, 162sylbi 207 . . . . 5 (∀𝑎𝑦 (𝜑 → (𝑎 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) → (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) → (𝜑 → (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐴)))
164163a1i 11 . . . 4 (𝑦 ∈ On → (∀𝑎𝑦 (𝜑 → (𝑎 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) → (𝐺𝑎) ∈ 𝐴)) → (𝜑 → (𝑦 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐴))))
16510, 15, 164tfis3 7099 . . 3 (𝐶 ∈ On → (𝜑 → (𝐶 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵)) → (𝐺𝐶) ∈ 𝐴)))
166165impd 446 . 2 (𝐶 ∈ On → ((𝜑𝐶 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵))) → (𝐺𝐶) ∈ 𝐴))
1675, 166mpcom 38 1 ((𝜑𝐶 ∈ suc (card‘( 𝐴𝐵))) → (𝐺𝐶) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  wal 1521   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  cdif 3604  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948  ifcif 4119  𝒫 cpw 4191  {csn 4210   cuni 4468   ciun 4552  cmpt 4762  dom cdm 5143  ran crn 5144  cima 5146  Ord word 5760  Oncon0 5761  suc csuc 5763  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  wf 5922  ontowfo 5924  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  recscrecs 7512  Fincfn 7997  cardccrd 8799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-fin 8001  df-card 8803
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