Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uhgrvd00 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uhgrvd00 26316
 Description: If every vertex in a hypergraph has degree 0, there is no edge in the graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jul-2018.) (Revised by AV, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdusgradjvtx.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdusgradjvtx.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
uhgrvd00 (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 → 𝐸 = ∅))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉

Proof of Theorem uhgrvd00
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vtxdusgradjvtx.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 vtxdusgradjvtx.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3 eqid 2621 . . . . 5 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
41, 2, 3vtxduhgr0edgnel 26276 . . . 4 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑣𝑉) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 ↔ ¬ ∃𝑒𝐸 𝑣𝑒))
5 ralnex 2986 . . . 4 (∀𝑒𝐸 ¬ 𝑣𝑒 ↔ ¬ ∃𝑒𝐸 𝑣𝑒)
64, 5syl6bbr 278 . . 3 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑣𝑉) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 ↔ ∀𝑒𝐸 ¬ 𝑣𝑒))
76ralbidva 2979 . 2 (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 ↔ ∀𝑣𝑉𝑒𝐸 ¬ 𝑣𝑒))
8 ralcom 3090 . . . . 5 (∀𝑣𝑉𝑒𝐸 ¬ 𝑣𝑒 ↔ ∀𝑒𝐸𝑣𝑉 ¬ 𝑣𝑒)
9 ralnex2 3038 . . . . 5 (∀𝑒𝐸𝑣𝑉 ¬ 𝑣𝑒 ↔ ¬ ∃𝑒𝐸𝑣𝑉 𝑣𝑒)
108, 9bitri 264 . . . 4 (∀𝑣𝑉𝑒𝐸 ¬ 𝑣𝑒 ↔ ¬ ∃𝑒𝐸𝑣𝑉 𝑣𝑒)
11 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒𝐸) → 𝑒𝐸)
122eleq2i 2690 . . . . . . . . . . 11 (𝑒𝐸𝑒 ∈ (Edg‘𝐺))
13 uhgredgn0 25918 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑒 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
1412, 13sylan2b 492 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒𝐸) → 𝑒 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
15 eldifsn 4287 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ↔ (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑒 ≠ ∅))
16 elpwi 4140 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → 𝑒 ⊆ (Vtx‘𝐺))
171sseq2i 3609 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒𝑉𝑒 ⊆ (Vtx‘𝐺))
18 ssn0rex 3912 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒𝑉𝑒 ≠ ∅) → ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒)
1918ex 450 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒𝑉 → (𝑒 ≠ ∅ → ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒))
2017, 19sylbir 225 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ⊆ (Vtx‘𝐺) → (𝑒 ≠ ∅ → ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒))
2116, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → (𝑒 ≠ ∅ → ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒))
2221imp 445 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑒 ≠ ∅) → ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒)
2315, 22sylbi 207 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) → ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒)
2414, 23syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒𝐸) → ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒)
2511, 24jca 554 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒𝐸) → (𝑒𝐸 ∧ ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒))
2625ex 450 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ UHGraph → (𝑒𝐸 → (𝑒𝐸 ∧ ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒)))
2726eximdv 1843 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UHGraph → (∃𝑒 𝑒𝐸 → ∃𝑒(𝑒𝐸 ∧ ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒)))
28 n0 3907 . . . . . 6 (𝐸 ≠ ∅ ↔ ∃𝑒 𝑒𝐸)
29 df-rex 2913 . . . . . 6 (∃𝑒𝐸𝑣𝑉 𝑣𝑒 ↔ ∃𝑒(𝑒𝐸 ∧ ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒))
3027, 28, 293imtr4g 285 . . . . 5 (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐸 ≠ ∅ → ∃𝑒𝐸𝑣𝑉 𝑣𝑒))
3130con3d 148 . . . 4 (𝐺 ∈ UHGraph → (¬ ∃𝑒𝐸𝑣𝑉 𝑣𝑒 → ¬ 𝐸 ≠ ∅))
3210, 31syl5bi 232 . . 3 (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣𝑉𝑒𝐸 ¬ 𝑣𝑒 → ¬ 𝐸 ≠ ∅))
33 nne 2794 . . 3 𝐸 ≠ ∅ ↔ 𝐸 = ∅)
3432, 33syl6ib 241 . 2 (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣𝑉𝑒𝐸 ¬ 𝑣𝑒𝐸 = ∅))
357, 34sylbid 230 1 (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 → 𝐸 = ∅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480  ∃wex 1701   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  ∃wrex 2908   ∖ cdif 3552   ⊆ wss 3555  ∅c0 3891  𝒫 cpw 4130  {csn 4148  ‘cfv 5847  0cc0 9880  Vtxcvtx 25774  Edgcedg 25839   UHGraph cuhgr 25847  VtxDegcvtxdg 26248 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-xadd 11891  df-fz 12269  df-hash 13058  df-edg 25840  df-uhgr 25849  df-vtxdg 26249 This theorem is referenced by:  usgrvd00  26317  uhgr0edg0rgrb  26340
 Copyright terms: Public domain W3C validator