MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgr2v2evd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgr2v2evd2 26343
Description: In a multigraph with two edges connecting the same two vertices, each of the vertices has degree 2. (Contributed by AV, 18-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
umgr2v2evtx.g 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩
Assertion
Ref Expression
umgr2v2evd2 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐴) = 2)

Proof of Theorem umgr2v2evd2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 umgr2v2evtx.g . . . 4 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩
21umgr2v2e 26341 . . 3 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐺 ∈ UMGraph )
31umgr2v2evtxel 26338 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝐴𝑉) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
433adant3 1079 . . . 4 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
54adantr 481 . . 3 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
6 eqid 2621 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
7 eqid 2621 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
8 eqid 2621 . . . 4 dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
9 eqid 2621 . . . 4 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
106, 7, 8, 9vtxdumgrval 26302 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐴) = (#‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
112, 5, 10syl2anc 692 . 2 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐴) = (#‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
121umgr2v2eiedg 26339 . . . . . . . 8 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → (iEdg‘𝐺) = {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩})
1312dmeqd 5296 . . . . . . 7 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩})
14 prex 4880 . . . . . . . 8 {𝐴, 𝐵} ∈ V
1514, 14dmprop 5579 . . . . . . 7 dom {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩} = {0, 1}
1613, 15syl6eq 2671 . . . . . 6 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → dom (iEdg‘𝐺) = {0, 1})
1712fveq1d 6160 . . . . . . 7 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥))
1817eleq2d 2684 . . . . . 6 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)))
1916, 18rabeqbidv 3185 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)})
2019fveq2d 6162 . . . 4 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → (#‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = (#‘{𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)}))
21 prid1g 4272 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑉𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
22 0ne1 11048 . . . . . . . . . . . 12 0 ≠ 1
23 c0ex 9994 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
2423, 14fvpr1 6421 . . . . . . . . . . . 12 (0 ≠ 1 → ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘0) = {𝐴, 𝐵})
2522, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘0) = {𝐴, 𝐵}
2621, 25syl6eleqr 2709 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑉𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘0))
27 1ex 9995 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ V
2827, 14fvpr2 6422 . . . . . . . . . . . 12 (0 ≠ 1 → ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘1) = {𝐴, 𝐵})
2922, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘1) = {𝐴, 𝐵}
3021, 29syl6eleqr 2709 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑉𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘1))
31 fveq2 6158 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥) = ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘0))
3231eleq2d 2684 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥) ↔ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘0)))
33 fveq2 6158 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥) = ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘1))
3433eleq2d 2684 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥) ↔ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘1)))
3523, 27, 32, 34ralpr 4216 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥 ∈ {0, 1}𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥) ↔ (𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘0) ∧ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘1)))
3626, 30, 35sylanbrc 697 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉 → ∀𝑥 ∈ {0, 1}𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥))
37 rabid2 3111 . . . . . . . . 9 ({0, 1} = {𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)} ↔ ∀𝑥 ∈ {0, 1}𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥))
3836, 37sylibr 224 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → {0, 1} = {𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)})
3938eqcomd 2627 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → {𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)} = {0, 1})
4039fveq2d 6162 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (#‘{𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)}) = (#‘{0, 1}))
41 prhash2ex 13143 . . . . . 6 (#‘{0, 1}) = 2
4240, 41syl6eq 2671 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (#‘{𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)}) = 2)
43423ad2ant2 1081 . . . 4 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → (#‘{𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)}) = 2)
4420, 43eqtrd 2655 . . 3 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → (#‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 2)
4544adantr 481 . 2 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → (#‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 2)
4611, 45eqtrd 2655 1 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐴) = 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2908  {crab 2912  {cpr 4157  cop 4161  dom cdm 5084  cfv 5857  0cc0 9896  1c1 9897  2c2 11030  #chash 13073  Vtxcvtx 25808  iEdgciedg 25809   UMGraph cumgr 25906  VtxDegcvtxdg 26282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-n0 11253  df-xnn0 11324  df-z 11338  df-uz 11648  df-xadd 11907  df-fz 12285  df-hash 13074  df-vtx 25810  df-iedg 25811  df-upgr 25907  df-umgr 25908  df-vtxdg 26283
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator