Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  umgrislfupgrlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgrislfupgrlem 40452
 Description: Lemma for umgrislfupgr 40453 and usgrislfuspgr 40519. (Contributed by AV, 27-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
umgrislfupgrlem ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2}

Proof of Theorem umgrislfupgrlem
StepHypRef Expression
1 2pos 10867 . . . 4 0 < 2
2 simprl 789 . . . . . . . . 9 ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑉)
3 fveq2 5987 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = ∅ → (#‘𝑥) = (#‘∅))
4 hash0 12884 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (#‘∅) = 0
53, 4syl6eq 2564 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = ∅ → (#‘𝑥) = 0)
65breq2d 4493 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ∅ → (2 ≤ (#‘𝑥) ↔ 2 ≤ 0))
7 2re 10845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
8 0re 9795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
97, 8lenlti 9908 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ≤ 0 ↔ ¬ 0 < 2)
10 pm2.21 118 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ 0 < 2 → (0 < 2 → 𝑥 ≠ ∅))
119, 10sylbi 205 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ≤ 0 → (0 < 2 → 𝑥 ≠ ∅))
126, 11syl6bi 241 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → (2 ≤ (#‘𝑥) → (0 < 2 → 𝑥 ≠ ∅)))
1312adantld 481 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)) → (0 < 2 → 𝑥 ≠ ∅)))
1413com23 83 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (0 < 2 → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)) → 𝑥 ≠ ∅)))
1514impd 445 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))) → 𝑥 ≠ ∅))
16 ax-1 6 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ≠ ∅ → ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))) → 𝑥 ≠ ∅))
1715, 16pm2.61ine 2769 . . . . . . . . 9 ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))) → 𝑥 ≠ ∅)
18 eldifsn 4163 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉𝑥 ≠ ∅))
192, 17, 18sylanbrc 694 . . . . . . . 8 ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}))
20 simprr 791 . . . . . . . 8 ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))) → 2 ≤ (#‘𝑥))
2119, 20jca 552 . . . . . . 7 ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)))
2221ex 448 . . . . . 6 (0 < 2 → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))))
23 eldifi 3598 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑉)
2423anim1i 589 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)))
2522, 24impbid1 213 . . . . 5 (0 < 2 → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))))
2625rabbidva2 3066 . . . 4 (0 < 2 → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)})
271, 26ax-mp 5 . . 3 {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}
2827ineq2i 3676 . 2 ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}) = ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)})
29 inrab 3761 . 2 ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ((#‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))}
30 vex 3080 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
31 hashxnn0 40323 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ V → (#‘𝑥) ∈ ℕ0*)
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . 7 (#‘𝑥) ∈ ℕ0*
33 xnn0xr 40307 . . . . . . 7 ((#‘𝑥) ∈ ℕ0* → (#‘𝑥) ∈ ℝ*)
3432, 33ax-mp 5 . . . . . 6 (#‘𝑥) ∈ ℝ*
357rexri 9847 . . . . . 6 2 ∈ ℝ*
36 xrletri3 11730 . . . . . 6 (((#‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*) → ((#‘𝑥) = 2 ↔ ((#‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))))
3734, 35, 36mp2an 703 . . . . 5 ((#‘𝑥) = 2 ↔ ((#‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)))
3837bicomi 212 . . . 4 (((#‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)) ↔ (#‘𝑥) = 2)
3938a1i 11 . . 3 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) → (((#‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)) ↔ (#‘𝑥) = 2))
4039rabbiia 3065 . 2 {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ((#‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))} = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2}
4128, 29, 403eqtri 2540 1 ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2}
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 194   ∧ wa 382   = wceq 1474   ∈ wcel 1938   ≠ wne 2684  {crab 2804  Vcvv 3077   ∖ cdif 3441   ∩ cin 3443  ∅c0 3777  𝒫 cpw 4011  {csn 4028   class class class wbr 4481  ‘cfv 5689  0cc0 9691  ℝ*cxr 9828   < clt 9829   ≤ cle 9830  2c2 10825  #chash 12847  ℕ0*cxnn0 40302 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768 This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-1o 7323  df-er 7505  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-fin 7721  df-card 8524  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-nn 10776  df-2 10834  df-n0 11048  df-z 11119  df-uz 11428  df-fz 12066  df-hash 12848  df-xnn0 40303 This theorem is referenced by:  umgrislfupgr  40453  usgrislfuspgr  40519
 Copyright terms: Public domain W3C validator