MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgrislfupgrlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgrislfupgrlem 26062
Description: Lemma for umgrislfupgr 26063 and usgrislfuspgr 26124. (Contributed by AV, 27-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
umgrislfupgrlem ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2}

Proof of Theorem umgrislfupgrlem
StepHypRef Expression
1 2pos 11150 . . . 4 0 < 2
2 simprl 809 . . . . . . . . 9 ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑉)
3 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = ∅ → (#‘𝑥) = (#‘∅))
4 hash0 13196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (#‘∅) = 0
53, 4syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = ∅ → (#‘𝑥) = 0)
65breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ∅ → (2 ≤ (#‘𝑥) ↔ 2 ≤ 0))
7 2re 11128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
8 0re 10078 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
97, 8lenlti 10195 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ≤ 0 ↔ ¬ 0 < 2)
10 pm2.21 120 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ 0 < 2 → (0 < 2 → 𝑥 ≠ ∅))
119, 10sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ≤ 0 → (0 < 2 → 𝑥 ≠ ∅))
126, 11syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → (2 ≤ (#‘𝑥) → (0 < 2 → 𝑥 ≠ ∅)))
1312adantld 482 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)) → (0 < 2 → 𝑥 ≠ ∅)))
1413com23 86 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (0 < 2 → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)) → 𝑥 ≠ ∅)))
1514impd 446 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))) → 𝑥 ≠ ∅))
16 ax-1 6 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ≠ ∅ → ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))) → 𝑥 ≠ ∅))
1715, 16pm2.61ine 2906 . . . . . . . . 9 ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))) → 𝑥 ≠ ∅)
18 eldifsn 4350 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉𝑥 ≠ ∅))
192, 17, 18sylanbrc 699 . . . . . . . 8 ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}))
20 simprr 811 . . . . . . . 8 ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))) → 2 ≤ (#‘𝑥))
2119, 20jca 553 . . . . . . 7 ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)))
2221ex 449 . . . . . 6 (0 < 2 → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))))
23 eldifi 3765 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑉)
2423anim1i 591 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)))
2522, 24impbid1 215 . . . . 5 (0 < 2 → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))))
2625rabbidva2 3217 . . . 4 (0 < 2 → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)})
271, 26ax-mp 5 . . 3 {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}
2827ineq2i 3844 . 2 ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}) = ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)})
29 inrab 3932 . 2 ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ((#‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))}
30 vex 3234 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
31 hashxnn0 13167 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V → (#‘𝑥) ∈ ℕ0*)
3230, 31ax-mp 5 . . . . . 6 (#‘𝑥) ∈ ℕ0*
33 xnn0xr 11406 . . . . . 6 ((#‘𝑥) ∈ ℕ0* → (#‘𝑥) ∈ ℝ*)
3432, 33ax-mp 5 . . . . 5 (#‘𝑥) ∈ ℝ*
357rexri 10135 . . . . 5 2 ∈ ℝ*
36 xrletri3 12023 . . . . 5 (((#‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*) → ((#‘𝑥) = 2 ↔ ((#‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))))
3734, 35, 36mp2an 708 . . . 4 ((#‘𝑥) = 2 ↔ ((#‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)))
3837bicomi 214 . . 3 (((#‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)) ↔ (#‘𝑥) = 2)
3938rabbii 3216 . 2 {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ((#‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))} = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2}
4028, 29, 393eqtri 2677 1 ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  {crab 2945  Vcvv 3231  cdif 3604  cin 3606  c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210   class class class wbr 4685  cfv 5926  0cc0 9974  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  2c2 11108  0*cxnn0 11401  #chash 13157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158
This theorem is referenced by:  umgrislfupgr  26063  usgrislfuspgr  26124
  Copyright terms: Public domain W3C validator