MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2pos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2pos 11150
Description: The number 2 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
2pos 0 < 2

Proof of Theorem 2pos
StepHypRef Expression
1 1re 10077 . . 3 1 ∈ ℝ
2 0lt1 10588 . . 3 0 < 1
31, 1, 2, 2addgt0ii 10608 . 2 0 < (1 + 1)
4 df-2 11117 . 2 2 = (1 + 1)
53, 4breqtrri 4712 1 0 < 2
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  2c2 11108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-2 11117
This theorem is referenced by:  2ne0  11151  3pos  11152  halfgt0  11286  halflt1  11288  halfpos2  11299  halfnneg2  11301  nominpos  11307  avglt1  11308  avglt2  11309  nn0n0n1ge2b  11397  3halfnz  11494  2rp  11875  zgt1rpn0n1  11909  2tnp1ge0ge0  12670  fldiv4lem1div2uz2  12677  s3fv0  13682  2swrd2eqwrdeq  13742  sqrlem7  14033  sqreulem  14143  amgm2  14153  iseralt  14459  climcndslem2  14626  climcnds  14627  geoihalfsum  14658  efcllem  14852  cos2bnd  14962  sin02gt0  14966  sincos2sgn  14968  sin4lt0  14969  epos  14979  sqrt2re  15024  oexpneg  15116  oddge22np1  15120  evennn02n  15121  nn0ehalf  15142  nno  15145  nn0oddm1d2  15148  nnoddm1d2  15149  flodddiv4t2lthalf  15187  oddprm  15562  iserodd  15587  prmgaplem7  15808  odrngstr  16113  imasvalstr  16159  psgnunilem2  17961  cnfldstr  19796  cnfldfun  19806  bl2in  22252  iihalf1  22777  iihalf2  22779  pcoass  22870  tchcphlem1  23080  trirn  23229  minveclem2  23243  minveclem4  23249  ovolunlem1a  23310  vitalilem4  23425  mbfi1fseqlem5  23531  pilem2  24251  pilem3  24252  pipos  24257  sinhalfpilem  24260  sincosq1lem  24294  tangtx  24302  sinq12gt0  24304  sincos6thpi  24312  cosordlem  24322  tanord1  24328  efif1olem2  24334  efif1olem4  24336  cxpcn3lem  24533  ang180lem1  24584  ang180lem2  24585  atantan  24695  atanbndlem  24697  atans2  24703  leibpilem1  24712  leibpi  24714  log2tlbnd  24717  basellem1  24852  basellem2  24853  basellem3  24854  ppiltx  24948  ppiub  24974  chtublem  24981  chtub  24982  chpval2  24988  bcmono  25047  bpos1lem  25052  bposlem1  25054  bposlem2  25055  bposlem3  25056  bposlem4  25057  bposlem5  25058  bposlem6  25059  bposlem7  25060  gausslemma2dlem0c  25128  gausslemma2dlem1a  25135  gausslemma2dlem2  25137  gausslemma2dlem3  25138  lgseisenlem1  25145  lgseisenlem2  25146  lgseisenlem3  25147  lgsquadlem1  25150  lgsquadlem2  25151  2lgslem1a1  25159  2lgslem1a2  25160  2lgslem1c  25163  chebbnd1lem1  25203  chebbnd1lem2  25204  chebbnd1lem3  25205  chebbnd1  25206  chtppilimlem1  25207  chtppilimlem2  25208  chtppilim  25209  chebbnd2  25211  chto1lb  25212  chpchtlim  25213  chpo1ub  25214  dchrisum0fno1  25245  mulog2sumlem2  25269  selberglem2  25280  selberg2lem  25284  chpdifbndlem1  25287  logdivbnd  25290  pntrsumo1  25299  pntpbnd1a  25319  pntlemh  25333  pntlemr  25336  pntlemk  25340  pntlemo  25341  pnt2  25347  umgrislfupgrlem  26062  lfgrnloop  26065  lfuhgr1v0e  26191  wwlksnextwrd  26860  wwlksnextfun  26861  wwlksnextinj  26862  clwlkclwwlklem2a2  26959  konigsberg  27235  ex-fl  27434  nvge0  27656  minvecolem2  27859  minvecolem4  27864  bcsiALT  28164  opsqrlem6  29132  cdj3lem1  29421  sqsscirc1  30082  omssubadd  30490  signslema  30767  hgt750lem  30857  subfacval3  31297  nn0prpwlem  32442  knoppndvlem18  32645  knoppndvlem19  32646  knoppndvlem21  32648  cnndvlem1  32653  sin2h  33529  cos2h  33530  tan2h  33531  itg2addnclem  33591  pellfundex  37767  rmspecsqrtnqOLD  37788  jm2.22  37879  jm2.23  37880  imo72b2lem0  38782  sumnnodd  40180  sinaover2ne0  40397  stoweidlem14  40549  stoweidlem49  40584  stoweidlem52  40587  wallispilem4  40603  wallispi2lem2  40607  stirlinglem6  40614  stirlinglem15  40623  stirlingr  40625  dirkerval2  40629  dirkertrigeqlem3  40635  dirkercncflem4  40641  fourierdlem24  40666  fourierdlem79  40720  fourierdlem103  40744  fourierdlem104  40745  fourierdlem112  40753  fourierswlem  40765  fouriersw  40766  lighneallem4a  41850  oexpnegALTV  41913  nnoALTV  41931  nn0oALTV  41932  nn0e  41933  evengpoap3  42012  nn0eo  42647  flnn0div2ge  42652  fldivexpfllog2  42684  fllog2  42687  blennngt2o2  42711  dignn0flhalf  42737
  Copyright terms: Public domain W3C validator