Theorem upgr2pthnlp 40919

Description: A path of length at least 2 in a pseudograph does not contain a loop. (Contributed by AV, 6-Feb-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2pthnloop.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
upgr2pthnlp	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(#‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = 2)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼   𝑃,𝑖

Proof of Theorem upgr2pthnlp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2pthnloop.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2	1	2pthnloop 40918	. . 3 ⊢ ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))
3	2	3adant1 1071	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))
4		pthis1wlk 40914	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
5	1	1wlkf 40800	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
6		simp2 1054	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → 𝐺 ∈ UPGraph )
7		wrdsymbcl 13121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝐹‘𝑖) ∈ dom 𝐼)
8	1	upgrle2 40311	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝐹‘𝑖) ∈ dom 𝐼) → (#‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ≤ 2)
9	6, 7, 8	3imp3i2an 1269	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (#‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ≤ 2)
10		fvex 6097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) ∈ V
11		hashxnn0 40199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑖)) ∈ V → (#‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ∈ ℕ0*)
12		xnn0xr 40183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ∈ ℕ0* → (#‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ∈ ℝ*)
13	10, 11, 12	mp2b 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (#‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ∈ ℝ*
14		2re 10939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	14	rexri 9948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ*
16	13, 15	pm3.2i 469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*)
17		xrletri3 11822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*) → ((#‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = 2 ↔ ((#‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))
18	16, 17	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((#‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = 2 ↔ ((#‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))
19	18	biimprd 236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (((#‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))) → (#‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = 2))
20	9, 19	mpand 706	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → (#‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = 2))
21	20	3exp 1255	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → (#‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = 2))))
22	4, 5, 21	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → (#‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = 2))))
23	22	impcom 444	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → (#‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = 2)))
24	23	3adant3 1073	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹)) → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → (#‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = 2)))
25	24	imp 443	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → (#‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = 2))
26	25	ralimdva 2944	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(#‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = 2))
27	3, 26	mpd 15	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(#‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = 2)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 194   ∧ wa 382   ∧ w3a 1030   = wceq 1474   ∈ wcel 1976  ∀wral 2895  Vcvv 3172   class class class wbr 4577  dom cdm 5027  ‘cfv 5789  (class class class)co 6526  0cc0 9792  1c1 9793  ℝ^*cxr 9929   < clt 9930   ≤ cle 9931  2c2 10919  ..^cfzo 12291  #chash 12936  Word cword 13094  ℕ₀^*cxnn0 40178  iEdgciedg 40211   UPGraph cupgr 40287  1Walksc1wlks 40777  PathScpths 40900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-ifp 1006  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-2 10928  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-fz 12155  df-fzo 12292  df-hash 12937  df-word 13102  df-xnn0 40179  df-uhgr 40261  df-upgr 40289  df-1wlks 40781  df-trls 40882  df-pths 40904

This theorem is referenced by: (None)