Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgr2pthnlp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgr2pthnlp 26684
 Description: A path of length at least 2 in a pseudograph does not contain a loop. (Contributed by AV, 6-Feb-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2pthnloop.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
upgr2pthnlp ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼   𝑃,𝑖

Proof of Theorem upgr2pthnlp
StepHypRef Expression
1 2pthnloop.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
212pthnloop 26683 . . 3 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))))
323adant1 1099 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))))
4 pthiswlk 26679 . . . . . . 7 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
51wlkf 26566 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
6 simp2 1082 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → 𝐺 ∈ UPGraph)
7 wrdsymbcl 13350 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐼)
81upgrle2 26045 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐼) → (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ≤ 2)
96, 7, 83imp3i2an 1299 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ≤ 2)
10 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼‘(𝐹𝑖)) ∈ V
11 hashxnn0 13167 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼‘(𝐹𝑖)) ∈ V → (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ∈ ℕ0*)
12 xnn0xr 11406 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ∈ ℕ0* → (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ∈ ℝ*)
1310, 11, 12mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ∈ ℝ*
14 2re 11128 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
1514rexri 10135 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ*
1613, 15pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 ((#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*)
17 xrletri3 12023 . . . . . . . . . . 11 (((#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*) → ((#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2 ↔ ((#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))))))
1816, 17mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2 ↔ ((#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))))))
1918biimprd 238 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (((#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖)))) → (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2))
209, 19mpand 711 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) → (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2))
21203exp 1283 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) → (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2))))
224, 5, 213syl 18 . . . . . 6 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) → (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2))))
2322impcom 445 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) → (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2)))
24233adant3 1101 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹)) → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) → (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2)))
2524imp 444 . . 3 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) → (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2))
2625ralimdva 2991 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2))
273, 26mpd 15 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  Vcvv 3231   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113  2c2 11108  ℕ0*cxnn0 11401  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323  iEdgciedg 25920  UPGraphcupgr 26020  Walkscwlks 26548  Pathscpths 26664 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1033  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-uhgr 25998  df-upgr 26022  df-wlks 26551  df-trls 26645  df-pths 26668 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator