Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdiscusgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdiscusgr 26313
 Description: In a finite complete simple graph with n vertices every vertex has degree 𝑛 − 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Jul-2018.) (Revised by AV, 17-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
hashnbusgrvd.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vdiscusgr (𝐺 ∈ FinUSGraph → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((#‘𝑉) − 1) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉

Proof of Theorem vdiscusgr
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashnbusgrvd.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21uvtxaisvtx 26176 . . . . 5 (𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → 𝑛𝑉)
3 fveq2 6148 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑛 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑛))
43eqeq1d 2623 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑛 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((#‘𝑉) − 1) ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑛) = ((#‘𝑉) − 1)))
54rspccv 3292 . . . . . . . . 9 (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((#‘𝑉) − 1) → (𝑛𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑛) = ((#‘𝑉) − 1)))
65adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((#‘𝑉) − 1)) → (𝑛𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑛) = ((#‘𝑉) − 1)))
76imp 445 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((#‘𝑉) − 1)) ∧ 𝑛𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑛) = ((#‘𝑉) − 1))
81usgruvtxvdb 26311 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑛𝑉) → (𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑛) = ((#‘𝑉) − 1)))
98adantlr 750 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((#‘𝑉) − 1)) ∧ 𝑛𝑉) → (𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑛) = ((#‘𝑉) − 1)))
107, 9mpbird 247 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((#‘𝑉) − 1)) ∧ 𝑛𝑉) → 𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
1110ex 450 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((#‘𝑉) − 1)) → (𝑛𝑉𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
122, 11impbid2 216 . . . 4 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((#‘𝑉) − 1)) → (𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ 𝑛𝑉))
1312eqrdv 2619 . . 3 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((#‘𝑉) − 1)) → (UnivVtx‘𝐺) = 𝑉)
14 fusgrusgr 26102 . . . . 5 (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph )
151cusgruvtxb 26205 . . . . 5 (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (UnivVtx‘𝐺) = 𝑉))
1614, 15syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (UnivVtx‘𝐺) = 𝑉))
1716adantr 481 . . 3 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((#‘𝑉) − 1)) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (UnivVtx‘𝐺) = 𝑉))
1813, 17mpbird 247 . 2 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((#‘𝑉) − 1)) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph)
1918ex 450 1 (𝐺 ∈ FinUSGraph → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((#‘𝑉) − 1) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  1c1 9881   − cmin 10210  #chash 13057  Vtxcvtx 25774   USGraph cusgr 25937   FinUSGraph cfusgr 26096  UnivVtxcuvtxa 26112  ComplUSGraphccusgr 26114  VtxDegcvtxdg 26248 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-xadd 11891  df-fz 12269  df-hash 13058  df-edg 25840  df-uhgr 25849  df-ushgr 25850  df-upgr 25873  df-umgr 25874  df-uspgr 25938  df-usgr 25939  df-fusgr 26097  df-nbgr 26115  df-uvtxa 26117  df-cplgr 26118  df-cusgr 26119  df-vtxdg 26249 This theorem is referenced by:  cusgrm1rusgr  26348
 Copyright terms: Public domain W3C validator