Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdumgr0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdumgr0 26256
 Description: A vertex in a multigraph has degree 0 if the graph consists of only one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
vdumgr0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vdumgr0 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉 ∧ (#‘𝑉) = 1) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 0)

Proof of Theorem vdumgr0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 umgruhgr 25889 . . . 4 (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph )
213ad2ant1 1080 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉 ∧ (#‘𝑉) = 1) → 𝐺 ∈ UHGraph )
3 simp3 1061 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉 ∧ (#‘𝑉) = 1) → (#‘𝑉) = 1)
4 vdumgr0.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5 eqid 2626 . . . . . 6 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
64, 5umgrislfupgr 25908 . . . . 5 (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (𝐺 ∈ UPGraph ∧ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}))
76simprbi 480 . . . 4 (𝐺 ∈ UMGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)})
873ad2ant1 1080 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉 ∧ (#‘𝑉) = 1) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)})
92, 3, 83jca 1240 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉 ∧ (#‘𝑉) = 1) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (#‘𝑉) = 1 ∧ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}))
10 simp2 1060 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉 ∧ (#‘𝑉) = 1) → 𝑁𝑉)
11 eqid 2626 . . 3 {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}
124, 5, 11vtxdlfuhgr1v 26255 . 2 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (#‘𝑉) = 1 ∧ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}) → (𝑁𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 0))
139, 10, 12sylc 65 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉 ∧ (#‘𝑉) = 1) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  {crab 2916  𝒫 cpw 4135   class class class wbr 4618  dom cdm 5079  ⟶wf 5846  ‘cfv 5850  0cc0 9881  1c1 9882   ≤ cle 10020  2c2 11015  #chash 13054  Vtxcvtx 25769  iEdgciedg 25770   UHGraph cuhgr 25842   UPGraph cupgr 25866   UMGraph cumgr 25867  VtxDegcvtxdg 26242 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-n0 11238  df-xnn0 11309  df-z 11323  df-uz 11632  df-xadd 11891  df-fz 12266  df-hash 13055  df-edg 25835  df-uhgr 25844  df-upgr 25868  df-umgr 25869  df-vtxdg 26243 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator