MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  volsuplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem volsuplem 23225
Description: Lemma for volsup 23226. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
volsuplem ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴))) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐵))
Distinct variable group:   𝑛,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)

Proof of Theorem volsuplem
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6150 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐴))
21sseq2d 3617 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴)))
32imbi2d 330 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑥)) ↔ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴))))
4 fveq2 6150 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑘))
54sseq2d 3617 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑘)))
65imbi2d 330 . . . 4 (𝑥 = 𝑘 → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑥)) ↔ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑘))))
7 fveq2 6150 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
87sseq2d 3617 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
98imbi2d 330 . . . 4 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑥)) ↔ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
10 fveq2 6150 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
1110sseq2d 3617 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐵)))
1211imbi2d 330 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑥)) ↔ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐵))))
13 ssid 3608 . . . . 5 (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴)
14132a1i 12 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴)))
15 eluznn 11702 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝑘 ∈ ℕ)
16 fveq2 6150 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑘))
17 oveq1 6612 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + 1) = (𝑘 + 1))
1817fveq2d 6154 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
1916, 18sseq12d 3618 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐹𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
2019rspccva 3299 . . . . . . . . 9 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
2115, 20sylan2 491 . . . . . . . 8 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝐴))) → (𝐹𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
2221anassrs 679 . . . . . . 7 (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
23 sstr2 3595 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑘) → ((𝐹𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
2422, 23syl5com 31 . . . . . 6 (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑘) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
2524expcom 451 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) → ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑘) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
2625a2d 29 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑘)) → ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
273, 6, 9, 12, 14, 26uzind4 11690 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐵)))
2827com12 32 . 2 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐵)))
2928impr 648 1 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴))) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  wss 3560  cfv 5850  (class class class)co 6605  1c1 9882   + caddc 9884  cn 10965  cz 11322  cuz 11631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632
This theorem is referenced by:  volsup  23226
  Copyright terms: Public domain W3C validator