MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  volsuplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem volsuplem 23523
Description: Lemma for volsup 23524. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
volsuplem ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴))) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐵))
Distinct variable group:   𝑛,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)

Proof of Theorem volsuplem
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6352 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐴))
21sseq2d 3774 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴)))
32imbi2d 329 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑥)) ↔ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴))))
4 fveq2 6352 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑘))
54sseq2d 3774 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑘)))
65imbi2d 329 . . . 4 (𝑥 = 𝑘 → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑥)) ↔ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑘))))
7 fveq2 6352 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
87sseq2d 3774 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
98imbi2d 329 . . . 4 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑥)) ↔ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
10 fveq2 6352 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
1110sseq2d 3774 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐵)))
1211imbi2d 329 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑥)) ↔ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐵))))
13 ssid 3765 . . . . 5 (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴)
14132a1i 12 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴)))
15 eluznn 11951 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝑘 ∈ ℕ)
16 fveq2 6352 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑘))
17 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + 1) = (𝑘 + 1))
1817fveq2d 6356 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
1916, 18sseq12d 3775 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐹𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
2019rspccva 3448 . . . . . . . . 9 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
2115, 20sylan2 492 . . . . . . . 8 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝐴))) → (𝐹𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
2221anassrs 683 . . . . . . 7 (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
23 sstr2 3751 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑘) → ((𝐹𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
2422, 23syl5com 31 . . . . . 6 (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑘) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
2524expcom 450 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) → ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑘) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
2625a2d 29 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑘)) → ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
273, 6, 9, 12, 14, 26uzind4 11939 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐵)))
2827com12 32 . 2 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐵)))
2928impr 650 1 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴))) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wss 3715  cfv 6049  (class class class)co 6813  1c1 10129   + caddc 10131  cn 11212  cz 11569  cuz 11879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880
This theorem is referenced by:  volsup  23524
  Copyright terms: Public domain W3C validator