Theorem volsuplem 24156

Description: Lemma for volsup 24157. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
volsuplem	⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))

Distinct variable group:   𝑛,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)

Proof of Theorem volsuplem

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6670	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
2	1	sseq2d 3999	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴)))
3	2	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥)) ↔ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴))))
4		fveq2 6670	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑘))
5	4	sseq2d 3999	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑘)))
6	5	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥)) ↔ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑘))))
7		fveq2 6670	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
8	7	sseq2d 3999	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
9	8	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥)) ↔ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
10		fveq2 6670	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐵))
11	10	sseq2d 3999	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵)))
12	11	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥)) ↔ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))))
13		ssid 3989	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴)
14	13	2a1i 12	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴)))
15		eluznn 12319	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝑘 ∈ ℕ)
16		fveq2 6670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑘))
17		fvoveq1 7179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
18	16, 17	sseq12d 4000	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐹‘𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
19	18	rspccva 3622	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
20	15, 19	sylan2 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴))) → (𝐹‘𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
21	20	anassrs 470	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
22		sstr2 3974	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
23	21, 22	syl5com 31	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑘) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
24	23	expcom 416	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑘) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
25	24	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑘)) → ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
26	3, 6, 9, 12, 14, 25	uzind4 12307	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵)))
27	26	com12 32	. 2 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵)))
28	27	impr 457	1 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138   ⊆ wss 3936  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  1c1 10538   + caddc 10540  ℕcn 11638  ℤcz 11982  ℤ_≥cuz 12244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245

This theorem is referenced by:  volsup  24157