Theorem eluznn 11796

Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in ℕ. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluznn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11761	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	uztrn2 11743	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2030  ‘cfv 5926  1c1 9975  ℕcn 11058  ℤ_≥cuz 11725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-z 11416  df-uz 11726

This theorem is referenced by:  elfzo1  12557  expmulnbnd  13036  bcval5  13145  isercolllem1  14439  isercoll  14442  o1fsum  14589  climcndslem1  14625  climcndslem2  14626  climcnds  14627  mertenslem2  14661  rpnnen2lem6  14992  rpnnen2lem7  14993  rpnnen2lem9  14995  rpnnen2lem11  14997  pcmpt2  15644  pcmptdvds  15645  prmreclem4  15670  prmreclem5  15671  prmreclem6  15672  vdwnnlem2  15747  2expltfac  15846  setsstructOLD  15946  1stcelcls  21312  lmnn  23107  cmetcaulem  23132  causs  23142  caubl  23152  caublcls  23153  ovolunlem1a  23310  volsuplem  23369  uniioombllem3  23399  mbfi1fseqlem6  23532  aaliou3lem2  24143  birthdaylem2  24724  lgamgulmlem4  24803  lgamcvg2  24826  chtub  24982  bclbnd  25050  bposlem3  25056  bposlem4  25057  bposlem5  25058  bposlem6  25059  lgsdilem2  25103  chebbnd1lem1  25203  chebbnd1lem2  25204  chebbnd1lem3  25205  dchrisumlema  25222  dchrisumlem2  25224  dchrisumlem3  25225  dchrisum0lem1b  25249  dchrisum0lem1  25250  pntrsumbnd2  25301  pntpbnd1  25320  pntpbnd2  25321  pntlemh  25333  pntlemq  25335  pntlemr  25336  pntlemj  25337  pntlemf  25339  minvecolem3  27860  minvecolem4  27864  h2hcau  27964  h2hlm  27965  chscllem2  28625  sinccvglem  31692  lmclim2  33684  geomcau  33685  heibor1lem  33738  rrncmslem  33761  divcnvg  40177  stoweidlem7  40542  stirlinglem12  40620  fourierdlem103  40744  fourierdlem104  40745