Theorem eluznn 11590

Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in ℕ. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluznn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11555	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	uztrn2 11537	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∈ wcel 1976  ‘cfv 5790  1c1 9793  ℕcn 10867  ℤ_≥cuz 11519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-z 11211  df-uz 11520

This theorem is referenced by:  elfzo1  12340  expmulnbnd  12813  bcval5  12922  isercolllem1  14189  isercoll  14192  o1fsum  14332  climcndslem1  14366  climcndslem2  14367  climcnds  14368  mertenslem2  14402  rpnnen2lem6  14733  rpnnen2lem7  14734  rpnnen2lem9  14736  rpnnen2lem11  14738  pcmpt2  15381  pcmptdvds  15382  prmreclem4  15407  prmreclem5  15408  prmreclem6  15409  vdwnnlem2  15484  2expltfac  15583  setsstruct  15673  1stcelcls  21016  lmnn  22787  cmetcaulem  22812  causs  22822  caubl  22831  caublcls  22832  ovolunlem1a  22988  volsuplem  23047  uniioombllem3  23076  mbfi1fseqlem6  23210  aaliou3lem2  23819  birthdaylem2  24396  lgamgulmlem4  24475  lgamcvg2  24498  chtub  24654  bclbnd  24722  bposlem3  24728  bposlem4  24729  bposlem5  24730  bposlem6  24731  lgsdilem2  24775  chebbnd1lem1  24875  chebbnd1lem2  24876  chebbnd1lem3  24877  dchrisumlema  24894  dchrisumlem2  24896  dchrisumlem3  24897  dchrisum0lem1b  24921  dchrisum0lem1  24922  pntrsumbnd2  24973  pntpbnd1  24992  pntpbnd2  24993  pntlemh  25005  pntlemq  25007  pntlemr  25008  pntlemj  25009  pntlemf  25011  minvecolem3  26922  minvecolem4  26926  h2hcau  27026  h2hlm  27027  chscllem2  27687  sinccvglem  30626  lmclim2  32520  geomcau  32521  heibor1lem  32574  rrncmslem  32597  divcnvg  38491  stoweidlem7  38697  stirlinglem12  38775  fourierdlem103  38899  fourierdlem104  38900