Theorem eluznn 12319

Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in ℕ. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluznn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12282	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	uztrn2 12263	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6355  1c1 10538  ℕcn 11638  ℤ_≥cuz 12244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-z 11983  df-uz 12245

This theorem is referenced by:  elfzo1  13088  expmulnbnd  13597  bcval5  13679  isercolllem1  15021  isercoll  15024  o1fsum  15168  climcndslem1  15204  climcndslem2  15205  climcnds  15206  mertenslem2  15241  rpnnen2lem6  15572  rpnnen2lem7  15573  rpnnen2lem9  15575  rpnnen2lem11  15577  pcmpt2  16229  pcmptdvds  16230  prmreclem4  16255  prmreclem5  16256  prmreclem6  16257  vdwnnlem2  16332  2expltfac  16426  1stcelcls  22069  lmnn  23866  cmetcaulem  23891  causs  23901  caubl  23911  caublcls  23912  ovolunlem1a  24097  volsuplem  24156  uniioombllem3  24186  mbfi1fseqlem6  24321  aaliou3lem2  24932  birthdaylem2  25530  lgamgulmlem4  25609  lgamcvg2  25632  chtub  25788  bclbnd  25856  bposlem3  25862  bposlem4  25863  bposlem5  25864  bposlem6  25865  lgsdilem2  25909  chebbnd1lem1  26045  chebbnd1lem2  26046  chebbnd1lem3  26047  dchrisumlema  26064  dchrisumlem2  26066  dchrisumlem3  26067  dchrisum0lem1b  26091  dchrisum0lem1  26092  pntrsumbnd2  26143  pntpbnd1  26162  pntpbnd2  26163  pntlemh  26175  pntlemq  26177  pntlemr  26178  pntlemj  26179  pntlemf  26181  minvecolem3  28653  minvecolem4  28657  h2hcau  28756  h2hlm  28757  chscllem2  29415  sinccvglem  32915  lmclim2  35048  geomcau  35049  heibor1lem  35102  rrncmslem  35125  divcnvg  41957  stoweidlem7  42341  stirlinglem12  42419  fourierdlem103  42543  fourierdlem104  42544