Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimconst2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimconst2 40560
Description: A sequence that eventually becomes constant, converges to its constant value (w.r.t. the standard topology on the extended reals). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimconst2.p 𝑘𝜑
xlimconst2.k 𝑘𝐹
xlimconst2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimconst2.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimconst2.n (𝜑𝑁𝑍)
xlimconst2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xlimconst2.e ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
xlimconst2 (𝜑𝐹~~>*𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem xlimconst2
StepHypRef Expression
1 xlimconst2.p . . 3 𝑘𝜑
2 xlimconst2.k . . . 4 𝑘𝐹
3 nfcv 2898 . . . 4 𝑘(ℤ𝑁)
42, 3nfres 5549 . . 3 𝑘(𝐹 ↾ (ℤ𝑁))
5 xlimconst2.z . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 xlimconst2.n . . . 4 (𝜑𝑁𝑍)
75, 6eluzelz2d 40134 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
8 eqid 2756 . . 3 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
9 xlimconst2.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
109ffnd 6203 . . . 4 (𝜑𝐹 Fn 𝑍)
115, 6uzssd2 40138 . . . 4 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ 𝑍)
1210, 11fnssresd 39977 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ𝑁)) Fn (ℤ𝑁))
13 xlimconst2.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
14 fvres 6364 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑁))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
1514adantl 473 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑁))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
16 xlimconst2.e . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
1715, 16eqtrd 2790 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑁))‘𝑘) = 𝐴)
181, 4, 7, 8, 12, 13, 17xlimconst 40550 . 2 (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ𝑁))~~>*𝐴)
195, 9fuzxrpmcn 40553 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ))
2019, 7xlimres 40546 . 2 (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑁))~~>*𝐴))
2118, 20mpbird 247 1 (𝜑𝐹~~>*𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1628  wnf 1853  wcel 2135  wnfc 2885   class class class wbr 4800  cres 5264  wf 6041  cfv 6045  *cxr 10261  cuz 11875  ~~>*clsxlim 40543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-oadd 7729  df-er 7907  df-pm 8022  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-fi 8478  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-neg 10457  df-z 11566  df-uz 11876  df-topgen 16302  df-ordt 16359  df-ps 17397  df-tsr 17398  df-top 20897  df-topon 20914  df-bases 20948  df-lm 21231  df-xlim 40544
This theorem is referenced by:  climxlim2lem  40570
  Copyright terms: Public domain W3C validator