Theorem xlimmnflimsup 42211

Description: If a sequence of extended reals converges to -∞ then its superior limit is also -∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimmnflimsup.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimmnflimsup.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimmnflimsup.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimmnflimsup.c	⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*-∞)

Assertion

Ref	Expression
xlimmnflimsup	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = -∞)

Proof of Theorem xlimmnflimsup

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimmnflimsup.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*-∞)
2		xlimmnflimsup.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		xlimmnflimsup.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		xlimmnflimsup.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
5	2, 3, 4	xlimmnfv 42189	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
6	1, 5	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
7		nfcv 2976	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
8	7, 2, 3, 4	limsupmnfuz 42082	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
9	6, 8	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = -∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∀wral 3137  ∃wrex 3138   class class class wbr 5059  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  ℝcr 10529  -∞cmnf 10666  ℝ^*cxr 10667   ≤ cle 10669  ℤcz 11975  ℤ_≥cuz 12237  lim supclsp 14822  ~~>*clsxlim 42173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-1o 8095  df-oadd 8099  df-er 8282  df-pm 8402  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-fin 8506  df-fi 8868  df-sup 8899  df-inf 8900  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11632  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-ioo 12736  df-ioc 12737  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fl 13159  df-ceil 13160  df-limsup 14823  df-topgen 16712  df-ordt 16769  df-ps 17805  df-tsr 17806  df-top 21497  df-topon 21514  df-bases 21549  df-lm 21832  df-xlim 42174

This theorem is referenced by:  xlimliminflimsup  42217