Theorem cla4v 152

Description: If A(x) is true for all x:α, then it is true for C = A(B). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cla4v.1	⊢ A:∗
cla4v.2	⊢ B:α
cla4v.3	⊢ [x:α = B]⊧[A = C]

Assertion

Ref	Expression
cla4v	⊢ (∀λx:α A)⊧C

Distinct variable groups:   x,B   x,C   α,x

Proof of Theorem cla4v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cla4v.1	. . . 4 ⊢ A:∗
2	1	wl 66	. . 3 ⊢ λx:α A:(α → ∗)
3		cla4v.2	. . 3 ⊢ B:α
4	2, 3	ax4g 149	. 2 ⊢ (∀λx:α A)⊧(λx:α AB)
5	4	ax-cb1 29	. . 3 ⊢ (∀λx:α A):∗
6		cla4v.3	. . . 4 ⊢ [x:α = B]⊧[A = C]
7	1, 3, 6	cl 116	. . 3 ⊢ ⊤⊧[(λx:α AB) = C]
8	5, 7	a1i 28	. 2 ⊢ (∀λx:α A)⊧[(λx:α AB) = C]
9	4, 8	mpbi 82	1 ⊢ (∀λx:α A)⊧C

Syntax hints:  tv 1  ∗hb 3  kc 5  λkl 6   = ke 7  [kbr 9  ⊧wffMMJ2 11  wffMMJ2t 12  ∀tal 122

This theorem was proved from axioms:  ax-syl 15  ax-jca 17  ax-simpl 20  ax-simpr 21  ax-id 24  ax-trud 26  ax-cb1 29  ax-cb2 30  ax-wctl 31  ax-wctr 32  ax-weq 40  ax-refl 42  ax-eqmp 45  ax-ded 46  ax-wct 47  ax-wc 49  ax-ceq 51  ax-wv 63  ax-wl 65  ax-beta 67  ax-distrc 68  ax-leq 69  ax-wov 71  ax-eqtypi 77  ax-eqtypri 80  ax-hbl1 103  ax-17 105  ax-inst 113

This theorem depends on definitions:  df-ov 73  df-al 126

This theorem is referenced by:  pm2.21  153  ecase  163  exlimdv2  166  ax4e  168  eta  178  exlimd  183  ac  197  ax10  213