Theorem ecase 163

Description: Elimination by cases. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ecase.1	⊢ A:∗
ecase.2	⊢ B:∗
ecase.3	⊢ T:∗
ecase.4	⊢ R⊧[A ∨ B]
ecase.5	⊢ (R, A)⊧T
ecase.6	⊢ (R, B)⊧T

Assertion

Ref	Expression
ecase	⊢ R⊧T

Proof of Theorem ecase

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecase.3	. 2 ⊢ T:∗
2		ecase.6	. . 3 ⊢ (R, B)⊧T
3	2	ex 158	. 2 ⊢ R⊧[B ⇒ T]
4		wim 137	. . . 4 ⊢ ⇒ :(∗ → (∗ → ∗))
5		ecase.2	. . . . 5 ⊢ B:∗
6	4, 5, 1	wov 72	. . . 4 ⊢ [B ⇒ T]:∗
7	4, 6, 1	wov 72	. . 3 ⊢ [[B ⇒ T] ⇒ T]:∗
8		ecase.5	. . . 4 ⊢ (R, A)⊧T
9	8	ex 158	. . 3 ⊢ R⊧[A ⇒ T]
10		ecase.4	. . . . 5 ⊢ R⊧[A ∨ B]
11	10	ax-cb1 29	. . . . . 6 ⊢ R:∗
12		ecase.1	. . . . . . 7 ⊢ A:∗
13	12, 5	orval 147	. . . . . 6 ⊢ ⊤⊧[[A ∨ B] = (∀λx:∗ [[A ⇒ x:∗] ⇒ [[B ⇒ x:∗] ⇒ x:∗]])]
14	11, 13	a1i 28	. . . . 5 ⊢ R⊧[[A ∨ B] = (∀λx:∗ [[A ⇒ x:∗] ⇒ [[B ⇒ x:∗] ⇒ x:∗]])]
15	10, 14	mpbi 82	. . . 4 ⊢ R⊧(∀λx:∗ [[A ⇒ x:∗] ⇒ [[B ⇒ x:∗] ⇒ x:∗]])
16		wv 64	. . . . . . 7 ⊢ x:∗:∗
17	4, 12, 16	wov 72	. . . . . 6 ⊢ [A ⇒ x:∗]:∗
18	4, 5, 16	wov 72	. . . . . . 7 ⊢ [B ⇒ x:∗]:∗
19	4, 18, 16	wov 72	. . . . . 6 ⊢ [[B ⇒ x:∗] ⇒ x:∗]:∗
20	4, 17, 19	wov 72	. . . . 5 ⊢ [[A ⇒ x:∗] ⇒ [[B ⇒ x:∗] ⇒ x:∗]]:∗
21	16, 1	weqi 76	. . . . . . . 8 ⊢ [x:∗ = T]:∗
22	21	id 25	. . . . . . 7 ⊢ [x:∗ = T]⊧[x:∗ = T]
23	4, 12, 16, 22	oveq2 101	. . . . . 6 ⊢ [x:∗ = T]⊧[[A ⇒ x:∗] = [A ⇒ T]]
24	4, 5, 16, 22	oveq2 101	. . . . . . 7 ⊢ [x:∗ = T]⊧[[B ⇒ x:∗] = [B ⇒ T]]
25	4, 18, 16, 24, 22	oveq12 100	. . . . . 6 ⊢ [x:∗ = T]⊧[[[B ⇒ x:∗] ⇒ x:∗] = [[B ⇒ T] ⇒ T]]
26	4, 17, 19, 23, 25	oveq12 100	. . . . 5 ⊢ [x:∗ = T]⊧[[[A ⇒ x:∗] ⇒ [[B ⇒ x:∗] ⇒ x:∗]] = [[A ⇒ T] ⇒ [[B ⇒ T] ⇒ T]]]
27	20, 1, 26	cla4v 152	. . . 4 ⊢ (∀λx:∗ [[A ⇒ x:∗] ⇒ [[B ⇒ x:∗] ⇒ x:∗]])⊧[[A ⇒ T] ⇒ [[B ⇒ T] ⇒ T]]
28	15, 27	syl 16	. . 3 ⊢ R⊧[[A ⇒ T] ⇒ [[B ⇒ T] ⇒ T]]
29	7, 9, 28	mpd 156	. 2 ⊢ R⊧[[B ⇒ T] ⇒ T]
30	1, 3, 29	mpd 156	1 ⊢ R⊧T

Syntax hints:  tv 1  ∗hb 3  kc 5  λkl 6   = ke 7  [kbr 9  kct 10  ⊧wffMMJ2 11  wffMMJ2t 12   ⇒ tim 121  ∀tal 122   ∨ tor 124

This theorem was proved from axioms:  ax-syl 15  ax-jca 17  ax-simpl 20  ax-simpr 21  ax-id 24  ax-trud 26  ax-cb1 29  ax-cb2 30  ax-wctl 31  ax-wctr 32  ax-weq 40  ax-refl 42  ax-eqmp 45  ax-ded 46  ax-wct 47  ax-wc 49  ax-ceq 51  ax-wv 63  ax-wl 65  ax-beta 67  ax-distrc 68  ax-leq 69  ax-distrl 70  ax-wov 71  ax-eqtypi 77  ax-eqtypri 80  ax-hbl1 103  ax-17 105  ax-inst 113

This theorem depends on definitions:  df-ov 73  df-al 126  df-an 128  df-im 129  df-or 132

This theorem is referenced by:  exmid  199  notnot  200  ax3  205