Theorem ax4e 168

Description: Existential introduction. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ax4e.1	⊢ F:(α → ∗)
ax4e.2	⊢ A:α

Assertion

Ref	Expression
ax4e	⊢ (FA)⊧(∃F)

Proof of Theorem ax4e

Dummy variables x p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wv 64	. . . . 5 ⊢ p:∗:∗
2		ax4e.1	. . . . . . 7 ⊢ F:(α → ∗)
3		ax4e.2	. . . . . . 7 ⊢ A:α
4	2, 3	wc 50	. . . . . 6 ⊢ (FA):∗
5		wal 134	. . . . . . 7 ⊢ ∀:((α → ∗) → ∗)
6		wim 137	. . . . . . . . 9 ⊢ ⇒ :(∗ → (∗ → ∗))
7		wv 64	. . . . . . . . . 10 ⊢ x:α:α
8	2, 7	wc 50	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fx:α):∗
9	6, 8, 1	wov 72	. . . . . . . 8 ⊢ [(Fx:α) ⇒ p:∗]:∗
10	9	wl 66	. . . . . . 7 ⊢ λx:α [(Fx:α) ⇒ p:∗]:(α → ∗)
11	5, 10	wc 50	. . . . . 6 ⊢ (∀λx:α [(Fx:α) ⇒ p:∗]):∗
12	4, 11	simpl 22	. . . . 5 ⊢ ((FA), (∀λx:α [(Fx:α) ⇒ p:∗]))⊧(FA)
13	7, 3	weqi 76	. . . . . . . . . 10 ⊢ [x:α = A]:∗
14	13	id 25	. . . . . . . . 9 ⊢ [x:α = A]⊧[x:α = A]
15	2, 7, 14	ceq2 90	. . . . . . . 8 ⊢ [x:α = A]⊧[(Fx:α) = (FA)]
16	6, 8, 1, 15	oveq1 99	. . . . . . 7 ⊢ [x:α = A]⊧[[(Fx:α) ⇒ p:∗] = [(FA) ⇒ p:∗]]
17	9, 3, 16	cla4v 152	. . . . . 6 ⊢ (∀λx:α [(Fx:α) ⇒ p:∗])⊧[(FA) ⇒ p:∗]
18	17, 4	adantl 56	. . . . 5 ⊢ ((FA), (∀λx:α [(Fx:α) ⇒ p:∗]))⊧[(FA) ⇒ p:∗]
19	1, 12, 18	mpd 156	. . . 4 ⊢ ((FA), (∀λx:α [(Fx:α) ⇒ p:∗]))⊧p:∗
20	19	ex 158	. . 3 ⊢ (FA)⊧[(∀λx:α [(Fx:α) ⇒ p:∗]) ⇒ p:∗]
21	20	alrimiv 151	. 2 ⊢ (FA)⊧(∀λp:∗ [(∀λx:α [(Fx:α) ⇒ p:∗]) ⇒ p:∗])
22	2	exval 143	. . 3 ⊢ ⊤⊧[(∃F) = (∀λp:∗ [(∀λx:α [(Fx:α) ⇒ p:∗]) ⇒ p:∗])]
23	4, 22	a1i 28	. 2 ⊢ (FA)⊧[(∃F) = (∀λp:∗ [(∀λx:α [(Fx:α) ⇒ p:∗]) ⇒ p:∗])]
24	21, 23	mpbir 87	1 ⊢ (FA)⊧(∃F)

This proof depends on syntax axioms:  tv 1   → ht 2  ∗hb 3  kc 5  λkl 6   = ke 7  [kbr 9  kct 10  ⊧wffMMJ2 11  wffMMJ2t 12   ⇒ tim 121  ∀tal 122  ∃tex 123

This proof depends on axioms:  ax-syl 15  ax-jca 17  ax-simpl 20  ax-simpr 21  ax-id 24  ax-trud 26  ax-cb1 29  ax-cb2 30  ax-wctl 31  ax-wctr 32  ax-weq 40  ax-refl 42  ax-eqmp 45  ax-ded 46  ax-wct 47  ax-wc 49  ax-ceq 51  ax-wv 63  ax-wl 65  ax-beta 67  ax-distrc 68  ax-leq 69  ax-distrl 70  ax-wov 71  ax-eqtypi 77  ax-eqtypri 80  ax-hbl1 103  ax-17 105  ax-inst 113

This proof depends on definitions:  df-ov 73  df-al 126  df-an 128  df-im 129  df-ex 131

This theorem is used by:  cla4ev  169  19.8a  170  dfex2  198  axrep  220