Theorem 2exsb 2009

Description: An equivalent expression for double existence. (Contributed by NM, 2-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
2exsb	|- ( E. x E. y ph <-> E. z E. w A. x A. y ( ( x = z /\ y = w ) -> ph ) )

Distinct variable groups:   x, y, z   y, w, z   ph, z, w

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem 2exsb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exsb 2008	. . . 4 |- ( E. y ph <-> E. w A. y ( y = w -> ph ) )
2	1	exbii 1605	. . 3 |- ( E. x E. y ph <-> E. x E. w A. y ( y = w -> ph ) )
3		excom 1664	. . 3 |- ( E. x E. w A. y ( y = w -> ph ) <-> E. w E. x A. y ( y = w -> ph ) )
4	2, 3	bitri 184	. 2 |- ( E. x E. y ph <-> E. w E. x A. y ( y = w -> ph ) )
5		exsb 2008	. . . 4 |- ( E. x A. y ( y = w -> ph ) <-> E. z A. x ( x = z -> A. y ( y = w -> ph ) ) )
6		impexp 263	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x = z /\ y = w ) -> ph ) <-> ( x = z -> ( y = w -> ph ) ) )
7	6	albii 1470	. . . . . . 7 |- ( A. y ( ( x = z /\ y = w ) -> ph ) <-> A. y ( x = z -> ( y = w -> ph ) ) )
8		19.21v 1873	. . . . . . 7 |- ( A. y ( x = z -> ( y = w -> ph ) ) <-> ( x = z -> A. y ( y = w -> ph ) ) )
9	7, 8	bitr2i 185	. . . . . 6 |- ( ( x = z -> A. y ( y = w -> ph ) ) <-> A. y ( ( x = z /\ y = w ) -> ph ) )
10	9	albii 1470	. . . . 5 |- ( A. x ( x = z -> A. y ( y = w -> ph ) ) <-> A. x A. y ( ( x = z /\ y = w ) -> ph ) )
11	10	exbii 1605	. . . 4 |- ( E. z A. x ( x = z -> A. y ( y = w -> ph ) ) <-> E. z A. x A. y ( ( x = z /\ y = w ) -> ph ) )
12	5, 11	bitri 184	. . 3 |- ( E. x A. y ( y = w -> ph ) <-> E. z A. x A. y ( ( x = z /\ y = w ) -> ph ) )
13	12	exbii 1605	. 2 |- ( E. w E. x A. y ( y = w -> ph ) <-> E. w E. z A. x A. y ( ( x = z /\ y = w ) -> ph ) )
14		excom 1664	. 2 |- ( E. w E. z A. x A. y ( ( x = z /\ y = w ) -> ph ) <-> E. z E. w A. x A. y ( ( x = z /\ y = w ) -> ph ) )
15	4, 13, 14	3bitri 206	1 |- ( E. x E. y ph <-> E. z E. w A. x A. y ( ( x = z /\ y = w ) -> ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1351   E.wex 1492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-11 1506  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-sb 1763

This theorem is referenced by: (None)