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Theorem 2exsb 1933
Description: An equivalent expression for double existence. (Contributed by NM, 2-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
2exsb  |-  ( E. x E. y ph  <->  E. z E. w A. x A. y ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph ) )
Distinct variable groups:    x, y, z   
y, w, z    ph, z, w
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem 2exsb
StepHypRef Expression
1 exsb 1932 . . . 4  |-  ( E. y ph  <->  E. w A. y ( y  =  w  ->  ph ) )
21exbii 1541 . . 3  |-  ( E. x E. y ph  <->  E. x E. w A. y ( y  =  w  ->  ph ) )
3 excom 1599 . . 3  |-  ( E. x E. w A. y ( y  =  w  ->  ph )  <->  E. w E. x A. y ( y  =  w  ->  ph ) )
42, 3bitri 182 . 2  |-  ( E. x E. y ph  <->  E. w E. x A. y ( y  =  w  ->  ph ) )
5 exsb 1932 . . . 4  |-  ( E. x A. y ( y  =  w  ->  ph )  <->  E. z A. x
( x  =  z  ->  A. y ( y  =  w  ->  ph )
) )
6 impexp 259 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph )  <->  ( x  =  z  ->  ( y  =  w  ->  ph )
) )
76albii 1404 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph )  <->  A. y ( x  =  z  ->  ( y  =  w  ->  ph )
) )
8 19.21v 1801 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( x  =  z  ->  ( y  =  w  ->  ph )
)  <->  ( x  =  z  ->  A. y
( y  =  w  ->  ph ) ) )
97, 8bitr2i 183 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  z  ->  A. y ( y  =  w  ->  ph ) )  <->  A. y ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph )
)
109albii 1404 . . . . 5  |-  ( A. x ( x  =  z  ->  A. y
( y  =  w  ->  ph ) )  <->  A. x A. y ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph )
)
1110exbii 1541 . . . 4  |-  ( E. z A. x ( x  =  z  ->  A. y ( y  =  w  ->  ph ) )  <->  E. z A. x A. y ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph )
)
125, 11bitri 182 . . 3  |-  ( E. x A. y ( y  =  w  ->  ph )  <->  E. z A. x A. y ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph )
)
1312exbii 1541 . 2  |-  ( E. w E. x A. y ( y  =  w  ->  ph )  <->  E. w E. z A. x A. y ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph )
)
14 excom 1599 . 2  |-  ( E. w E. z A. x A. y ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph )  <->  E. z E. w A. x A. y ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph )
)
154, 13, 143bitri 204 1  |-  ( E. x E. y ph  <->  E. z E. w A. x A. y ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wal 1287   E.wex 1426
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-11 1442  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-sb 1693
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