ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2ralunsn Unicode version

Theorem 2ralunsn 3732
Description: Double restricted quantification over the union of a set and a singleton, using implicit substitution. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2ralunsn.1  |-  ( x  =  B  ->  ( ph 
<->  ch ) )
2ralunsn.2  |-  ( y  =  B  ->  ( ph 
<->  ps ) )
2ralunsn.3  |-  ( x  =  B  ->  ( ps 
<->  th ) )
Assertion
Ref Expression
2ralunsn  |-  ( B  e.  C  ->  ( A. x  e.  ( A  u.  { B } ) A. y  e.  ( A  u.  { B } ) ph  <->  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph 
/\  A. x  e.  A  ps )  /\  ( A. y  e.  A  ch  /\  th ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B, y    x, C    ch, x    ps, y    th, x
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x)    ch( y)    th( y)    A( y)    C( y)

Proof of Theorem 2ralunsn
StepHypRef Expression
1 2ralunsn.2 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  ( ph 
<->  ps ) )
21ralunsn 3731 . . 3  |-  ( B  e.  C  ->  ( A. y  e.  ( A  u.  { B } ) ph  <->  ( A. y  e.  A  ph  /\  ps ) ) )
32ralbidv 2438 . 2  |-  ( B  e.  C  ->  ( A. x  e.  ( A  u.  { B } ) A. y  e.  ( A  u.  { B } ) ph  <->  A. x  e.  ( A  u.  { B } ) ( A. y  e.  A  ph  /\  ps ) ) )
4 2ralunsn.1 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  ( ph 
<->  ch ) )
54ralbidv 2438 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( A. y  e.  A  ph  <->  A. y  e.  A  ch ) )
6 2ralunsn.3 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( ps 
<->  th ) )
75, 6anbi12d 465 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( A. y  e.  A  ph  /\  ps ) 
<->  ( A. y  e.  A  ch  /\  th ) ) )
87ralunsn 3731 . . 3  |-  ( B  e.  C  ->  ( A. x  e.  ( A  u.  { B } ) ( A. y  e.  A  ph  /\  ps )  <->  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ph  /\  ps )  /\  ( A. y  e.  A  ch  /\  th ) ) ) )
9 r19.26 2561 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ph 
/\  ps )  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph  /\  A. x  e.  A  ps ) )
109anbi1i 454 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ph 
/\  ps )  /\  ( A. y  e.  A  ch  /\  th ) )  <-> 
( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph  /\  A. x  e.  A  ps )  /\  ( A. y  e.  A  ch  /\  th ) ) )
118, 10syl6bb 195 . 2  |-  ( B  e.  C  ->  ( A. x  e.  ( A  u.  { B } ) ( A. y  e.  A  ph  /\  ps )  <->  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph  /\  A. x  e.  A  ps )  /\  ( A. y  e.  A  ch  /\  th ) ) ) )
123, 11bitrd 187 1  |-  ( B  e.  C  ->  ( A. x  e.  ( A  u.  { B } ) A. y  e.  ( A  u.  { B } ) ph  <->  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph 
/\  A. x  e.  A  ps )  /\  ( A. y  e.  A  ch  /\  th ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1332    e. wcel 1481   A.wral 2417    u. cun 3073   {csn 3531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-v 2691  df-sbc 2913  df-un 3079  df-sn 3537
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator