Theorem 2ralunsn 3877

Description: Double restricted quantification over the union of a set and a singleton, using implicit substitution. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
2ralunsn.1	|- ( x = B -> ( ph <-> ch ) )
2ralunsn.2	|- ( y = B -> ( ph <-> ps ) )
2ralunsn.3	|- ( x = B -> ( ps <-> th ) )

Assertion

Ref	Expression
2ralunsn	|- ( B e. C -> ( A. x e. ( A u. { B } ) A. y e. ( A u. { B } ) ph <-> ( ( A. x e. A A. y e. A ph /\ A. x e. A ps ) /\ ( A. y e. A ch /\ th ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B, y   x, C   ch, x   ps, y   th, x

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x)   ch( y)   th( y)   A( y)   C( y)

Proof of Theorem 2ralunsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ralunsn.2	. . . 4 |- ( y = B -> ( ph <-> ps ) )
2	1	ralunsn 3876	. . 3 |- ( B e. C -> ( A. y e. ( A u. { B } ) ph <-> ( A. y e. A ph /\ ps ) ) )
3	2	ralbidv 2530	. 2 |- ( B e. C -> ( A. x e. ( A u. { B } ) A. y e. ( A u. { B } ) ph <-> A. x e. ( A u. { B } ) ( A. y e. A ph /\ ps ) ) )
4		2ralunsn.1	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( ph <-> ch ) )
5	4	ralbidv 2530	. . . . 5 |- ( x = B -> ( A. y e. A ph <-> A. y e. A ch ) )
6		2ralunsn.3	. . . . 5 |- ( x = B -> ( ps <-> th ) )
7	5, 6	anbi12d 473	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( A. y e. A ph /\ ps ) <-> ( A. y e. A ch /\ th ) ) )
8	7	ralunsn 3876	. . 3 |- ( B e. C -> ( A. x e. ( A u. { B } ) ( A. y e. A ph /\ ps ) <-> ( A. x e. A ( A. y e. A ph /\ ps ) /\ ( A. y e. A ch /\ th ) ) ) )
9		r19.26 2657	. . . 4 |- ( A. x e. A ( A. y e. A ph /\ ps ) <-> ( A. x e. A A. y e. A ph /\ A. x e. A ps ) )
10	9	anbi1i 458	. . 3 |- ( ( A. x e. A ( A. y e. A ph /\ ps ) /\ ( A. y e. A ch /\ th ) ) <-> ( ( A. x e. A A. y e. A ph /\ A. x e. A ps ) /\ ( A. y e. A ch /\ th ) ) )
11	8, 10	bitrdi 196	. 2 |- ( B e. C -> ( A. x e. ( A u. { B } ) ( A. y e. A ph /\ ps ) <-> ( ( A. x e. A A. y e. A ph /\ A. x e. A ps ) /\ ( A. y e. A ch /\ th ) ) ) )
12	3, 11	bitrd 188	1 |- ( B e. C -> ( A. x e. ( A u. { B } ) A. y e. ( A u. { B } ) ph <-> ( ( A. x e. A A. y e. A ph /\ A. x e. A ps ) /\ ( A. y e. A ch /\ th ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   u. cun 3195   {csn 3666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-sn 3672

This theorem is referenced by: (None)