Theorem opprc 3825

Description: Expansion of an ordered pair when either member is a proper class. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
opprc	|- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. = (/) )

Proof of Theorem opprc

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-op 3627	. 2 |- <. A , B >. = { x | ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) }
2		3simpa 996	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
3	2	con3i 633	. . . 4 |- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> -. ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) )
4	3	alrimiv 1885	. . 3 |- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> A. x -. ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) )
5		abeq0 3477	. . 3 |- ( { x | ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) } = (/) <-> A. x -. ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) )
6	4, 5	sylibr 134	. 2 |- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { x | ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) } = (/) )
7	1, 6	eqtrid 2238	1 |- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 2164   {cab 2179   _Vcvv 2760   (/)c0 3446   {csn 3618   {cpr 3619   <.cop 3621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-dif 3155  df-nul 3447  df-op 3627

This theorem is referenced by:  opprc1  3826  opprc2  3827  ovprc  5953