Theorem opprc 3801

Description: Expansion of an ordered pair when either member is a proper class. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
opprc	|- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. = (/) )

Proof of Theorem opprc

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-op 3603	. 2 |- <. A , B >. = { x | ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) }
2		3simpa 994	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
3	2	con3i 632	. . . 4 |- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> -. ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) )
4	3	alrimiv 1874	. . 3 |- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> A. x -. ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) )
5		abeq0 3455	. . 3 |- ( { x | ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) } = (/) <-> A. x -. ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) )
6	4, 5	sylibr 134	. 2 |- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { x | ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) } = (/) )
7	1, 6	eqtrid 2222	1 |- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   A.wal 1351   = wceq 1353   e. wcel 2148   {cab 2163   _Vcvv 2739   (/)c0 3424   {csn 3594   {cpr 3595   <.cop 3597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2741  df-dif 3133  df-nul 3425  df-op 3603

This theorem is referenced by:  opprc1  3802  opprc2  3803  ovprc  5912