Theorem alxfr 4446

Description: Transfer universal quantification from a variable x to another variable y contained in expression A. (Contributed by NM, 18-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
alxfr.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
alxfr	|- ( ( A. y A e. B /\ A. x E. y x = A ) -> ( A. x ph <-> A. y ps ) )

Distinct variable groups:   x, A   ph, y   ps, x   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   A( y)   B( x, y)

Proof of Theorem alxfr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alxfr.1	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
2	1	spcgv 2817	. . . . . 6 |- ( A e. B -> ( A. x ph -> ps ) )
3	2	com12 30	. . . . 5 |- ( A. x ph -> ( A e. B -> ps ) )
4	3	alimdv 1872	. . . 4 |- ( A. x ph -> ( A. y A e. B -> A. y ps ) )
5	4	com12 30	. . 3 |- ( A. y A e. B -> ( A. x ph -> A. y ps ) )
6	5	adantr 274	. 2 |- ( ( A. y A e. B /\ A. x E. y x = A ) -> ( A. x ph -> A. y ps ) )
7		nfa1 1534	. . . . . 6 |- F/ y A. y ps
8		nfv 1521	. . . . . 6 |- F/ y ph
9		sp 1504	. . . . . . 7 |- ( A. y ps -> ps )
10	9, 1	syl5ibrcom 156	. . . . . 6 |- ( A. y ps -> ( x = A -> ph ) )
11	7, 8, 10	exlimd 1590	. . . . 5 |- ( A. y ps -> ( E. y x = A -> ph ) )
12	11	alimdv 1872	. . . 4 |- ( A. y ps -> ( A. x E. y x = A -> A. x ph ) )
13	12	com12 30	. . 3 |- ( A. x E. y x = A -> ( A. y ps -> A. x ph ) )
14	13	adantl 275	. 2 |- ( ( A. y A e. B /\ A. x E. y x = A ) -> ( A. y ps -> A. x ph ) )
15	6, 14	impbid 128	1 |- ( ( A. y A e. B /\ A. x E. y x = A ) -> ( A. x ph <-> A. y ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1346   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732

This theorem is referenced by: (None)