Theorem alxfr 4390

Description: Transfer universal quantification from a variable x to another variable y contained in expression A. (Contributed by NM, 18-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
alxfr.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
alxfr	|- ( ( A. y A e. B /\ A. x E. y x = A ) -> ( A. x ph <-> A. y ps ) )

Distinct variable groups:   x, A   ph, y   ps, x   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   A( y)   B( x, y)

Proof of Theorem alxfr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alxfr.1	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
2	1	spcgv 2776	. . . . . 6 |- ( A e. B -> ( A. x ph -> ps ) )
3	2	com12 30	. . . . 5 |- ( A. x ph -> ( A e. B -> ps ) )
4	3	alimdv 1852	. . . 4 |- ( A. x ph -> ( A. y A e. B -> A. y ps ) )
5	4	com12 30	. . 3 |- ( A. y A e. B -> ( A. x ph -> A. y ps ) )
6	5	adantr 274	. 2 |- ( ( A. y A e. B /\ A. x E. y x = A ) -> ( A. x ph -> A. y ps ) )
7		nfa1 1522	. . . . . 6 |- F/ y A. y ps
8		nfv 1509	. . . . . 6 |- F/ y ph
9		sp 1489	. . . . . . 7 |- ( A. y ps -> ps )
10	9, 1	syl5ibrcom 156	. . . . . 6 |- ( A. y ps -> ( x = A -> ph ) )
11	7, 8, 10	exlimd 1577	. . . . 5 |- ( A. y ps -> ( E. y x = A -> ph ) )
12	11	alimdv 1852	. . . 4 |- ( A. y ps -> ( A. x E. y x = A -> A. x ph ) )
13	12	com12 30	. . 3 |- ( A. x E. y x = A -> ( A. y ps -> A. x ph ) )
14	13	adantl 275	. 2 |- ( ( A. y A e. B /\ A. x E. y x = A ) -> ( A. y ps -> A. x ph ) )
15	6, 14	impbid 128	1 |- ( ( A. y A e. B /\ A. x E. y x = A ) -> ( A. x ph <-> A. y ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1330   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691

This theorem is referenced by: (None)