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Theorem reusv3 4273
Description: Two ways to express single-valuedness of a class expression  C ( y ). See reusv1 4271 for the connection to uniqueness. (Contributed by NM, 27-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
reusv3.1  |-  ( y  =  z  ->  ( ph 
<->  ps ) )
reusv3.2  |-  ( y  =  z  ->  C  =  D )
Assertion
Ref Expression
reusv3  |-  ( E. y  e.  B  (
ph  /\  C  e.  A )  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, z, B    x, C, z   
x, D, y    ph, x, z    ps, x, y    x, A, y, z
Allowed substitution hints:    ph( y)    ps( z)    C( y)    D( z)

Proof of Theorem reusv3
StepHypRef Expression
1 reusv3.1 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  ( ph 
<->  ps ) )
2 reusv3.2 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  C  =  D )
32eleq1d 2156 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  ( C  e.  A  <->  D  e.  A ) )
41, 3anbi12d 457 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  (
( ph  /\  C  e.  A )  <->  ( ps  /\  D  e.  A ) ) )
54cbvrexv 2591 . . 3  |-  ( E. y  e.  B  (
ph  /\  C  e.  A )  <->  E. z  e.  B  ( ps  /\  D  e.  A ) )
6 nfra2xy 2418 . . . . 5  |-  F/ z A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )
7 nfv 1466 . . . . 5  |-  F/ z E. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C )
86, 7nfim 1509 . . . 4  |-  F/ z ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( ph  /\ 
ps )  ->  C  =  D )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C ) )
9 risset 2406 . . . . . 6  |-  ( D  e.  A  <->  E. x  e.  A  x  =  D )
10 ralcom 2530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )  <->  A. z  e.  B  A. y  e.  B  ( ( ph  /\  ps )  ->  C  =  D ) )
11 impexp 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )  <->  ( ph  ->  ( ps  ->  C  =  D ) ) )
12 bi2.04 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  ->  ( ps  ->  C  =  D ) )  <-> 
( ps  ->  ( ph  ->  C  =  D ) ) )
1311, 12bitri 182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )  <->  ( ps  ->  (
ph  ->  C  =  D ) ) )
1413ralbii 2384 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  B  (
( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )  <->  A. y  e.  B  ( ps  ->  ( ph  ->  C  =  D ) ) )
15 r19.21v 2450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  B  ( ps  ->  ( ph  ->  C  =  D ) )  <-> 
( ps  ->  A. y  e.  B  ( ph  ->  C  =  D ) ) )
1614, 15bitri 182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  e.  B  (
( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )  <-> 
( ps  ->  A. y  e.  B  ( ph  ->  C  =  D ) ) )
1716ralbii 2384 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  B  A. y  e.  B  (
( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )  <->  A. z  e.  B  ( ps  ->  A. y  e.  B  ( ph  ->  C  =  D ) ) )
1810, 17bitri 182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )  <->  A. z  e.  B  ( ps  ->  A. y  e.  B  ( ph  ->  C  =  D ) ) )
19 rsp 2423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  B  ( ps  ->  A. y  e.  B  ( ph  ->  C  =  D ) )  -> 
( z  e.  B  ->  ( ps  ->  A. y  e.  B  ( ph  ->  C  =  D ) ) ) )
2018, 19sylbi 119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )  ->  ( z  e.  B  ->  ( ps  ->  A. y  e.  B  ( ph  ->  C  =  D ) ) ) )
2120com3l 80 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  B  ->  ( ps  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )  ->  A. y  e.  B  ( ph  ->  C  =  D ) ) ) )
2221imp31 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  B  /\  ps )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( ph  /\  ps )  ->  C  =  D ) )  ->  A. y  e.  B  ( ph  ->  C  =  D ) )
23 eqeq1 2094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  D  ->  (
x  =  C  <->  D  =  C ) )
24 eqcom 2090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  =  C  <->  C  =  D )
2523, 24syl6bb 194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  D  ->  (
x  =  C  <->  C  =  D ) )
2625imbi2d 228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  D  ->  (
( ph  ->  x  =  C )  <->  ( ph  ->  C  =  D ) ) )
2726ralbidv 2380 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  D  ->  ( A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( ph  ->  C  =  D ) ) )
2822, 27syl5ibrcom 155 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  B  /\  ps )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( ph  /\  ps )  ->  C  =  D ) )  ->  ( x  =  D  ->  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C ) ) )
2928reximdv 2474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  B  /\  ps )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( ph  /\  ps )  ->  C  =  D ) )  ->  ( E. x  e.  A  x  =  D  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C ) ) )
3029ex 113 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  B  /\  ps )  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )  ->  ( E. x  e.  A  x  =  D  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C ) ) ) )
3130com23 77 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  B  /\  ps )  ->  ( E. x  e.  A  x  =  D  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C ) ) ) )
329, 31syl5bi 150 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  B  /\  ps )  ->  ( D  e.  A  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C ) ) ) )
3332expimpd 355 . . . 4  |-  ( z  e.  B  ->  (
( ps  /\  D  e.  A )  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C ) ) ) )
348, 33rexlimi 2482 . . 3  |-  ( E. z  e.  B  ( ps  /\  D  e.  A )  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C ) ) )
355, 34sylbi 119 . 2  |-  ( E. y  e.  B  (
ph  /\  C  e.  A )  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C ) ) )
361, 2reusv3i 4272 . 2  |-  ( E. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C )  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )
)
3735, 36impbid1 140 1  |-  ( E. y  e.  B  (
ph  /\  C  e.  A )  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365
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