ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfmq0qs Unicode version

Theorem dfmq0qs 7251
Description: Multiplication on nonnegative fractions. This definition is similar to df-mq0 7250 but expands Q0 (Contributed by Jim Kingdon, 22-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
dfmq0qs  |- ·Q0 
=  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  y  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  f >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  f ) >. ] ~Q0  ) ) }
Distinct variable group:    x, y, z, w, v, u, f

Proof of Theorem dfmq0qs
StepHypRef Expression
1 df-mq0 7250 . 2  |- ·Q0 
=  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e. Q0  /\  y  e. Q0 )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  f >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  f ) >. ] ~Q0  ) ) }
2 df-nq0 7247 . . . . . 6  |- Q0  =  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  )
32eleq2i 2206 . . . . 5  |-  ( x  e. Q0  <->  x  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )
42eleq2i 2206 . . . . 5  |-  ( y  e. Q0  <->  y  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )
53, 4anbi12i 455 . . . 4  |-  ( ( x  e. Q0  /\  y  e. Q0 )  <->  ( x  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  y  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
65anbi1i 453 . . 3  |-  ( ( ( x  e. Q0  /\  y  e. Q0 )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  f >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  f ) >. ] ~Q0  ) )  <->  ( ( x  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  y  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  f >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  f ) >. ] ~Q0  ) ) )
76oprabbii 5826 . 2  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e. Q0  /\  y  e. Q0 )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  f >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  f ) >. ] ~Q0  ) ) }  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  y  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  f >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  f ) >. ] ~Q0  ) ) }
81, 7eqtri 2160 1  |- ·Q0 
=  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  y  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  f >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  f ) >. ] ~Q0  ) ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1331   E.wex 1468    e. wcel 1480   <.cop 3530   omcom 4504    X. cxp 4537  (class class class)co 5774   {coprab 5775    .o comu 6311   [cec 6427   /.cqs 6428   N.cnpi 7094   ~Q0 ceq0 7108  Q0cnq0 7109   ·Q0 cmq0 7112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-11 1484  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-oprab 5778  df-nq0 7247  df-mq0 7250
This theorem is referenced by:  mulnnnq0  7272
  Copyright terms: Public domain W3C validator