Theorem dfmq0qs 7442

Description: Multiplication on nonnegative fractions. This definition is similar to df-mq0 7441 but expands Q₀. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dfmq0qs	|- ·Q0 = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ y e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , f >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o f ) >. ] ~Q0 ) ) }

Distinct variable group:   x, y, z, w, v, u, f

Proof of Theorem dfmq0qs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mq0 7441	. 2 |- ·Q0 = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. Q0 /\ y e. Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , f >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o f ) >. ] ~Q0 ) ) }
2		df-nq0 7438	. . . . . 6 |- Q0 = ( ( om X. N. ) /. ~Q0 )
3	2	eleq2i 2254	. . . . 5 |- ( x e. Q0 <-> x e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
4	2	eleq2i 2254	. . . . 5 |- ( y e. Q0 <-> y e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
5	3, 4	anbi12i 460	. . . 4 |- ( ( x e. Q0 /\ y e. Q0 ) <-> ( x e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ y e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
6	5	anbi1i 458	. . 3 |- ( ( ( x e. Q0 /\ y e. Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , f >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o f ) >. ] ~Q0 ) ) <-> ( ( x e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ y e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , f >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o f ) >. ] ~Q0 ) ) )
7	6	oprabbii 5943	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. Q0 /\ y e. Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , f >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o f ) >. ] ~Q0 ) ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ y e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , f >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o f ) >. ] ~Q0 ) ) }
8	1, 7	eqtri 2208	1 |- ·Q0 = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ y e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , f >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o f ) >. ] ~Q0 ) ) }

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1363   E.wex 1502   e. wcel 2158   <.cop 3607   omcom 4601   X. cxp 4636  (class class class)co 5888   {coprab 5889   .o comu 6429   [cec 6547   /.cqs 6548   N.cnpi 7285   ~_Q0 ceq0 7299  Q₀cnq0 7300   ·_Q0 cmq0 7303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-11 1516  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-ext 2169

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-oprab 5892  df-nq0 7438  df-mq0 7441

This theorem is referenced by:  mulnnnq0  7463