Theorem dfmq0qs 7051

Description: Multiplication on nonnegative fractions. This definition is similar to df-mq0 7050 but expands Q₀ (Contributed by Jim Kingdon, 22-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dfmq0qs	|- ·Q0 = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ y e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , f >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o f ) >. ] ~Q0 ) ) }

Distinct variable group:   x, y, z, w, v, u, f

Proof of Theorem dfmq0qs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mq0 7050	. 2 |- ·Q0 = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. Q0 /\ y e. Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , f >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o f ) >. ] ~Q0 ) ) }
2		df-nq0 7047	. . . . . 6 |- Q0 = ( ( om X. N. ) /. ~Q0 )
3	2	eleq2i 2155	. . . . 5 |- ( x e. Q0 <-> x e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
4	2	eleq2i 2155	. . . . 5 |- ( y e. Q0 <-> y e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
5	3, 4	anbi12i 449	. . . 4 |- ( ( x e. Q0 /\ y e. Q0 ) <-> ( x e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ y e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
6	5	anbi1i 447	. . 3 |- ( ( ( x e. Q0 /\ y e. Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , f >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o f ) >. ] ~Q0 ) ) <-> ( ( x e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ y e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , f >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o f ) >. ] ~Q0 ) ) )
7	6	oprabbii 5720	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. Q0 /\ y e. Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , f >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o f ) >. ] ~Q0 ) ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ y e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , f >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o f ) >. ] ~Q0 ) ) }
8	1, 7	eqtri 2109	1 |- ·Q0 = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ y e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , f >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o f ) >. ] ~Q0 ) ) }

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1290   E.wex 1427   e. wcel 1439   <.cop 3455   omcom 4420   X. cxp 4452  (class class class)co 5668   {coprab 5669   .o comu 6195   [cec 6306   /.cqs 6307   N.cnpi 6894   ~_Q0 ceq0 6908  Q₀cnq0 6909   ·_Q0 cmq0 6912

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-11 1443  ax-4 1446  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-oprab 5672  df-nq0 7047  df-mq0 7050

This theorem is referenced by:  mulnnnq0  7072