Theorem dfmq0qs 7430

Description: Multiplication on nonnegative fractions. This definition is similar to df-mq0 7429 but expands Q₀. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dfmq0qs	|- ·Q0 = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ y e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , f >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o f ) >. ] ~Q0 ) ) }

Distinct variable group:   x, y, z, w, v, u, f

Proof of Theorem dfmq0qs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mq0 7429	. 2 |- ·Q0 = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. Q0 /\ y e. Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , f >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o f ) >. ] ~Q0 ) ) }
2		df-nq0 7426	. . . . . 6 |- Q0 = ( ( om X. N. ) /. ~Q0 )
3	2	eleq2i 2244	. . . . 5 |- ( x e. Q0 <-> x e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
4	2	eleq2i 2244	. . . . 5 |- ( y e. Q0 <-> y e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
5	3, 4	anbi12i 460	. . . 4 |- ( ( x e. Q0 /\ y e. Q0 ) <-> ( x e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ y e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
6	5	anbi1i 458	. . 3 |- ( ( ( x e. Q0 /\ y e. Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , f >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o f ) >. ] ~Q0 ) ) <-> ( ( x e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ y e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , f >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o f ) >. ] ~Q0 ) ) )
7	6	oprabbii 5932	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. Q0 /\ y e. Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , f >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o f ) >. ] ~Q0 ) ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ y e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , f >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o f ) >. ] ~Q0 ) ) }
8	1, 7	eqtri 2198	1 |- ·Q0 = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ y e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , f >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o f ) >. ] ~Q0 ) ) }

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   <.cop 3597   omcom 4591   X. cxp 4626  (class class class)co 5877   {coprab 5878   .o comu 6417   [cec 6535   /.cqs 6536   N.cnpi 7273   ~_Q0 ceq0 7287  Q₀cnq0 7288   ·_Q0 cmq0 7291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-11 1506  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-oprab 5881  df-nq0 7426  df-mq0 7429

This theorem is referenced by:  mulnnnq0  7451