ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulnnnq0 Unicode version

Theorem mulnnnq0 7467
Description: Multiplication of nonnegative fractions in terms of natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulnnnq0  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  )

Proof of Theorem mulnnnq0
Dummy variables  x  y  z  w  v  u  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opelxpi 4673 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. ) )
2 enq0ex 7456 . . . . 5  |- ~Q0  e.  _V
32ecelqsi 6607 . . . 4  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. )  ->  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )
41, 3syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  ->  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )
5 opelxpi 4673 . . . 4  |-  ( ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )  -> 
<. C ,  D >.  e.  ( om  X.  N. ) )
62ecelqsi 6607 . . . 4  |-  ( <. C ,  D >.  e.  ( om  X.  N. )  ->  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )
75, 6syl 14 . . 3  |-  ( ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )  ->  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )
84, 7anim12i 338 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
9 eqid 2189 . . . 4  |-  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0
10 eqid 2189 . . . 4  |-  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0
119, 10pm3.2i 272 . . 3  |-  ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )
12 eqid 2189 . . 3  |-  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0
13 opeq12 3795 . . . . . 6  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  -> 
<. w ,  v >.  =  <. A ,  B >. )
14 eceq1 6588 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
w ,  v >.  =  <. A ,  B >.  ->  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  )
1514eqeq2d 2201 . . . . . . . 8  |-  ( <.
w ,  v >.  =  <. A ,  B >.  ->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  <->  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  ) )
1615anbi1d 465 . . . . . . 7  |-  ( <.
w ,  v >.  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  ) 
<->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  ) ) )
17 vex 2755 . . . . . . . . . . 11  |-  w  e. 
_V
18 vex 2755 . . . . . . . . . . 11  |-  v  e. 
_V
1917, 18opth 4252 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
w ,  v >.  =  <. A ,  B >.  <-> 
( w  =  A  /\  v  =  B ) )
20 oveq1 5898 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  A  ->  (
w  .o  C )  =  ( A  .o  C ) )
2120adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  ->  ( w  .o  C
)  =  ( A  .o  C ) )
22 oveq1 5898 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  B  ->  (
v  .o  D )  =  ( B  .o  D ) )
2322adantl 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  ->  ( v  .o  D
)  =  ( B  .o  D ) )
2421, 23opeq12d 3801 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  -> 
<. ( w  .o  C
) ,  ( v  .o  D ) >.  =  <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D )
>. )
2519, 24sylbi 121 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
w ,  v >.  =  <. A ,  B >.  ->  <. ( w  .o  C ) ,  ( v  .o  D )
>.  =  <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. )
2625eceq1d 6589 . . . . . . . 8  |-  ( <.
w ,  v >.  =  <. A ,  B >.  ->  [ <. (
w  .o  C ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  )
2726eqeq2d 2201 . . . . . . 7  |-  ( <.
w ,  v >.  =  <. A ,  B >.  ->  ( [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  C ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  <->  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D )
>. ] ~Q0  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D )
>. ] ~Q0  ) )
2816, 27anbi12d 473 . . . . . 6  |-  ( <.
w ,  v >.  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  C ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  )  <->  ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  ) ) )
2913, 28syl 14 . . . . 5  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  ->  ( ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  C ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  )  <->  ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  ) ) )
3029spc2egv 2842 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  )  ->  E. w E. v ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  C ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  ) ) )
31 opeq12 3795 . . . . . . 7  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  -> 
<. u ,  t >.  =  <. C ,  D >. )
32 eceq1 6588 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
u ,  t >.  =  <. C ,  D >.  ->  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )
3332eqeq2d 2201 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
u ,  t >.  =  <. C ,  D >.  ->  ( [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  <->  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  ) )
3433anbi2d 464 . . . . . . . 8  |-  ( <.
u ,  t >.  =  <. C ,  D >.  ->  ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  ) 
<->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  ) ) )
35 vex 2755 . . . . . . . . . . . 12  |-  u  e. 
_V
36 vex 2755 . . . . . . . . . . . 12  |-  t  e. 
_V
3735, 36opth 4252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
u ,  t >.  =  <. C ,  D >.  <-> 
( u  =  C  /\  t  =  D ) )
38 oveq2 5899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  C  ->  (
w  .o  u )  =  ( w  .o  C ) )
3938adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  ->  ( w  .o  u
)  =  ( w  .o  C ) )
40 oveq2 5899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  D  ->  (
v  .o  t )  =  ( v  .o  D ) )
4140adantl 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  ->  ( v  .o  t
)  =  ( v  .o  D ) )
4239, 41opeq12d 3801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  -> 
<. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  t ) >.  =  <. ( w  .o  C ) ,  ( v  .o  D )
>. )
4337, 42sylbi 121 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
u ,  t >.  =  <. C ,  D >.  ->  <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t )
>.  =  <. ( w  .o  C ) ,  ( v  .o  D
) >. )
4443eceq1d 6589 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
u ,  t >.  =  <. C ,  D >.  ->  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  C ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  )
4544eqeq2d 2201 . . . . . . . 8  |-  ( <.
u ,  t >.  =  <. C ,  D >.  ->  ( [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  <->  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D )
>. ] ~Q0  =  [ <. ( w  .o  C ) ,  ( v  .o  D )
>. ] ~Q0  ) )
4634, 45anbi12d 473 . . . . . . 7  |-  ( <.
u ,  t >.  =  <. C ,  D >.  ->  ( ( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  <->  ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  C ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  ) ) )
4731, 46syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  ->  ( ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  <->  ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  C ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  ) ) )
4847spc2egv 2842 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )  ->  ( ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  C ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  )  ->  E. u E. t ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) ) )
49482eximdv 1893 . . . 4  |-  ( ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )  ->  ( E. w E. v ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  C ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  )  ->  E. w E. v E. u E. t ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) ) )
5030, 49sylan9 409 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( (
( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  )  ->  E. w E. v E. u E. t ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) ) )
5111, 12, 50mp2ani 432 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  E. w E. v E. u E. t ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) )
52 ecexg 6557 . . . 4  |-  ( ~Q0  e.  _V  ->  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D )
>. ] ~Q0  e.  _V )
532, 52ax-mp 5 . . 3  |-  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  e.  _V
54 eqeq1 2196 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  ->  ( x  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  <->  [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  ) )
55 eqeq1 2196 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  ->  ( y  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  <->  [
<. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  ) )
5654, 55bi2anan9 606 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  ->  ( ( x  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  <-> 
( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  ) ) )
57 eqeq1 2196 . . . . . . 7  |-  ( z  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  ->  ( z  =  [ <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  <->  [
<. ( A  .o  C
) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  ) )
5856, 57bi2anan9 606 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D )
>. ] ~Q0  )  ->  ( ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  <-> 
( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) ) )
59583impa 1196 . . . . 5  |-  ( ( x  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  /\  z  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  )  ->  ( (
( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  ) 
<->  ( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) ) )
60594exbidv 1881 . . . 4  |-  ( ( x  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  /\  z  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  )  ->  ( E. w E. v E. u E. t ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  <->  E. w E. v E. u E. t ( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) ) )
61 mulnq0mo 7465 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  y  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  ->  E* z E. w E. v E. u E. t ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  ) )
62 dfmq0qs 7446 . . . 4  |- ·Q0 
=  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  y  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  E. w E. v E. u E. t ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) ) }
6360, 61, 62ovig 6013 . . 3  |-  ( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  e.  _V )  -> 
( E. w E. v E. u E. t
( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  ->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  ) )
6453, 63mp3an3 1337 . 2  |-  ( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )  ->  ( E. w E. v E. u E. t ( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  ->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  ) )
658, 51, 64sylc 62 1  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 980    = wceq 1364   E.wex 1503    e. wcel 2160   _Vcvv 2752   <.cop 3610   omcom 4604    X. cxp 4639  (class class class)co 5891    .o comu 6433   [cec 6551   /.cqs 6552   N.cnpi 7289   ~Q0 ceq0 7303   ·Q0 cmq0 7307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-oadd 6439  df-omul 6440  df-er 6553  df-ec 6555  df-qs 6559  df-ni 7321  df-mi 7323  df-enq0 7441  df-nq0 7442  df-mq0 7445
This theorem is referenced by:  mulclnq0  7469  nqnq0m  7472  nq0m0r  7473  distrnq0  7476  mulcomnq0  7477  nq02m  7482
  Copyright terms: Public domain W3C validator