ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulnnnq0 Unicode version

Theorem mulnnnq0 7226
Description: Multiplication of nonnegative fractions in terms of natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulnnnq0  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  )

Proof of Theorem mulnnnq0
Dummy variables  x  y  z  w  v  u  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opelxpi 4541 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. ) )
2 enq0ex 7215 . . . . 5  |- ~Q0  e.  _V
32ecelqsi 6451 . . . 4  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. )  ->  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )
41, 3syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  ->  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )
5 opelxpi 4541 . . . 4  |-  ( ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )  -> 
<. C ,  D >.  e.  ( om  X.  N. ) )
62ecelqsi 6451 . . . 4  |-  ( <. C ,  D >.  e.  ( om  X.  N. )  ->  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )
75, 6syl 14 . . 3  |-  ( ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )  ->  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )
84, 7anim12i 336 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
9 eqid 2117 . . . 4  |-  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0
10 eqid 2117 . . . 4  |-  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0
119, 10pm3.2i 270 . . 3  |-  ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )
12 eqid 2117 . . 3  |-  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0
13 opeq12 3677 . . . . . 6  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  -> 
<. w ,  v >.  =  <. A ,  B >. )
14 eceq1 6432 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
w ,  v >.  =  <. A ,  B >.  ->  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  )
1514eqeq2d 2129 . . . . . . . 8  |-  ( <.
w ,  v >.  =  <. A ,  B >.  ->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  <->  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  ) )
1615anbi1d 460 . . . . . . 7  |-  ( <.
w ,  v >.  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  ) 
<->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  ) ) )
17 vex 2663 . . . . . . . . . . 11  |-  w  e. 
_V
18 vex 2663 . . . . . . . . . . 11  |-  v  e. 
_V
1917, 18opth 4129 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
w ,  v >.  =  <. A ,  B >.  <-> 
( w  =  A  /\  v  =  B ) )
20 oveq1 5749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  A  ->  (
w  .o  C )  =  ( A  .o  C ) )
2120adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  ->  ( w  .o  C
)  =  ( A  .o  C ) )
22 oveq1 5749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  B  ->  (
v  .o  D )  =  ( B  .o  D ) )
2322adantl 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  ->  ( v  .o  D
)  =  ( B  .o  D ) )
2421, 23opeq12d 3683 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  -> 
<. ( w  .o  C
) ,  ( v  .o  D ) >.  =  <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D )
>. )
2519, 24sylbi 120 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
w ,  v >.  =  <. A ,  B >.  ->  <. ( w  .o  C ) ,  ( v  .o  D )
>.  =  <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. )
2625eceq1d 6433 . . . . . . . 8  |-  ( <.
w ,  v >.  =  <. A ,  B >.  ->  [ <. (
w  .o  C ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  )
2726eqeq2d 2129 . . . . . . 7  |-  ( <.
w ,  v >.  =  <. A ,  B >.  ->  ( [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  C ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  <->  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D )
>. ] ~Q0  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D )
>. ] ~Q0  ) )
2816, 27anbi12d 464 . . . . . 6  |-  ( <.
w ,  v >.  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  C ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  )  <->  ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  ) ) )
2913, 28syl 14 . . . . 5  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  ->  ( ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  C ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  )  <->  ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  ) ) )
3029spc2egv 2749 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  )  ->  E. w E. v ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  C ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  ) ) )
31 opeq12 3677 . . . . . . 7  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  -> 
<. u ,  t >.  =  <. C ,  D >. )
32 eceq1 6432 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
u ,  t >.  =  <. C ,  D >.  ->  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )
3332eqeq2d 2129 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
u ,  t >.  =  <. C ,  D >.  ->  ( [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  <->  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  ) )
3433anbi2d 459 . . . . . . . 8  |-  ( <.
u ,  t >.  =  <. C ,  D >.  ->  ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  ) 
<->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  ) ) )
35 vex 2663 . . . . . . . . . . . 12  |-  u  e. 
_V
36 vex 2663 . . . . . . . . . . . 12  |-  t  e. 
_V
3735, 36opth 4129 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
u ,  t >.  =  <. C ,  D >.  <-> 
( u  =  C  /\  t  =  D ) )
38 oveq2 5750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  C  ->  (
w  .o  u )  =  ( w  .o  C ) )
3938adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  ->  ( w  .o  u
)  =  ( w  .o  C ) )
40 oveq2 5750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  D  ->  (
v  .o  t )  =  ( v  .o  D ) )
4140adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  ->  ( v  .o  t
)  =  ( v  .o  D ) )
4239, 41opeq12d 3683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  -> 
<. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  t ) >.  =  <. ( w  .o  C ) ,  ( v  .o  D )
>. )
4337, 42sylbi 120 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
u ,  t >.  =  <. C ,  D >.  ->  <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t )
>.  =  <. ( w  .o  C ) ,  ( v  .o  D
) >. )
4443eceq1d 6433 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
u ,  t >.  =  <. C ,  D >.  ->  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  C ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  )
4544eqeq2d 2129 . . . . . . . 8  |-  ( <.
u ,  t >.  =  <. C ,  D >.  ->  ( [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  <->  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D )
>. ] ~Q0  =  [ <. ( w  .o  C ) ,  ( v  .o  D )
>. ] ~Q0  ) )
4634, 45anbi12d 464 . . . . . . 7  |-  ( <.
u ,  t >.  =  <. C ,  D >.  ->  ( ( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  <->  ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  C ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  ) ) )
4731, 46syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  ->  ( ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  <->  ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  C ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  ) ) )
4847spc2egv 2749 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )  ->  ( ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  C ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  )  ->  E. u E. t ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) ) )
49482eximdv 1838 . . . 4  |-  ( ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )  ->  ( E. w E. v ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  C ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  )  ->  E. w E. v E. u E. t ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) ) )
5030, 49sylan9 406 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( (
( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  )  ->  E. w E. v E. u E. t ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) ) )
5111, 12, 50mp2ani 428 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  E. w E. v E. u E. t ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) )
52 ecexg 6401 . . . 4  |-  ( ~Q0  e.  _V  ->  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D )
>. ] ~Q0  e.  _V )
532, 52ax-mp 5 . . 3  |-  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  e.  _V
54 eqeq1 2124 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  ->  ( x  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  <->  [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  ) )
55 eqeq1 2124 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  ->  ( y  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  <->  [
<. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  ) )
5654, 55bi2anan9 580 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  ->  ( ( x  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  <-> 
( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  ) ) )
57 eqeq1 2124 . . . . . . 7  |-  ( z  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  ->  ( z  =  [ <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  <->  [
<. ( A  .o  C
) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  ) )
5856, 57bi2anan9 580 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D )
>. ] ~Q0  )  ->  ( ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  <-> 
( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) ) )
59583impa 1161 . . . . 5  |-  ( ( x  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  /\  z  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  )  ->  ( (
( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  ) 
<->  ( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) ) )
60594exbidv 1826 . . . 4  |-  ( ( x  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  /\  z  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  )  ->  ( E. w E. v E. u E. t ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  <->  E. w E. v E. u E. t ( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) ) )
61 mulnq0mo 7224 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  y  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  ->  E* z E. w E. v E. u E. t ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  ) )
62 dfmq0qs 7205 . . . 4  |- ·Q0 
=  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  y  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  E. w E. v E. u E. t ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) ) }
6360, 61, 62ovig 5860 . . 3  |-  ( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  e.  _V )  -> 
( E. w E. v E. u E. t
( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  ->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  ) )
6453, 63mp3an3 1289 . 2  |-  ( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )  ->  ( E. w E. v E. u E. t ( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  ->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  ) )
658, 51, 64sylc 62 1  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 947    = wceq 1316   E.wex 1453    e. wcel 1465   _Vcvv 2660   <.cop 3500   omcom 4474    X. cxp 4507  (class class class)co 5742    .o comu 6279   [cec 6395   /.cqs 6396   N.cnpi 7048   ~Q0 ceq0 7062   ·Q0 cmq0 7066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-oadd 6285  df-omul 6286  df-er 6397  df-ec 6399  df-qs 6403  df-ni 7080  df-mi 7082  df-enq0 7200  df-nq0 7201  df-mq0 7204
This theorem is referenced by:  mulclnq0  7228  nqnq0m  7231  nq0m0r  7232  distrnq0  7235  mulcomnq0  7236  nq02m  7241
  Copyright terms: Public domain W3C validator