Theorem mulnnnq0 7070

Description: Multiplication of nonnegative fractions in terms of natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulnnnq0	|- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. C , D >. ] ~Q0 ) = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 )

Proof of Theorem mulnnnq0

Dummy variables x y z w v u t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4483	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> <. A , B >. e. ( om X. N. ) )
2		enq0ex 7059	. . . . 5 |- ~Q0 e. _V
3	2	ecelqsi 6360	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. ( om X. N. ) -> [ <. A , B >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
4	1, 3	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> [ <. A , B >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
5		opelxpi 4483	. . . 4 |- ( ( C e. om /\ D e. N. ) -> <. C , D >. e. ( om X. N. ) )
6	2	ecelqsi 6360	. . . 4 |- ( <. C , D >. e. ( om X. N. ) -> [ <. C , D >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( C e. om /\ D e. N. ) -> [ <. C , D >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
8	4, 7	anim12i 332	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
9		eqid 2089	. . . 4 |- [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q0
10		eqid 2089	. . . 4 |- [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0
11	9, 10	pm3.2i 267	. . 3 |- ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 )
12		eqid 2089	. . 3 |- [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0
13		opeq12 3630	. . . . . 6 |- ( ( w = A /\ v = B ) -> <. w , v >. = <. A , B >. )
14		eceq1 6341	. . . . . . . . 9 |- ( <. w , v >. = <. A , B >. -> [ <. w , v >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q0 )
15	14	eqeq2d 2100	. . . . . . . 8 |- ( <. w , v >. = <. A , B >. -> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 <-> [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q0 ) )
16	15	anbi1d 454	. . . . . . 7 |- ( <. w , v >. = <. A , B >. -> ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) <-> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) ) )
17		vex 2623	. . . . . . . . . . 11 |- w e. _V
18		vex 2623	. . . . . . . . . . 11 |- v e. _V
19	17, 18	opth 4073	. . . . . . . . . 10 |- ( <. w , v >. = <. A , B >. <-> ( w = A /\ v = B ) )
20		oveq1 5673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = A -> ( w .o C ) = ( A .o C ) )
21	20	adantr 271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w = A /\ v = B ) -> ( w .o C ) = ( A .o C ) )
22		oveq1 5673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = B -> ( v .o D ) = ( B .o D ) )
23	22	adantl 272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w = A /\ v = B ) -> ( v .o D ) = ( B .o D ) )
24	21, 23	opeq12d 3636	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w = A /\ v = B ) -> <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. = <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. )
25	19, 24	sylbi 120	. . . . . . . . 9 |- ( <. w , v >. = <. A , B >. -> <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. = <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. )
26	25	eceq1d 6342	. . . . . . . 8 |- ( <. w , v >. = <. A , B >. -> [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 )
27	26	eqeq2d 2100	. . . . . . 7 |- ( <. w , v >. = <. A , B >. -> ( [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 <-> [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) )
28	16, 27	anbi12d 458	. . . . . 6 |- ( <. w , v >. = <. A , B >. -> ( ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) ) )
29	13, 28	syl 14	. . . . 5 |- ( ( w = A /\ v = B ) -> ( ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) ) )
30	29	spc2egv 2709	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> ( ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) -> E. w E. v ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 ) ) )
31		opeq12 3630	. . . . . . 7 |- ( ( u = C /\ t = D ) -> <. u , t >. = <. C , D >. )
32		eceq1 6341	. . . . . . . . . 10 |- ( <. u , t >. = <. C , D >. -> [ <. u , t >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 )
33	32	eqeq2d 2100	. . . . . . . . 9 |- ( <. u , t >. = <. C , D >. -> ( [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 <-> [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) )
34	33	anbi2d 453	. . . . . . . 8 |- ( <. u , t >. = <. C , D >. -> ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) <-> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) ) )
35		vex 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- u e. _V
36		vex 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- t e. _V
37	35, 36	opth 4073	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. u , t >. = <. C , D >. <-> ( u = C /\ t = D ) )
38		oveq2 5674	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = C -> ( w .o u ) = ( w .o C ) )
39	38	adantr 271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = C /\ t = D ) -> ( w .o u ) = ( w .o C ) )
40		oveq2 5674	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = D -> ( v .o t ) = ( v .o D ) )
41	40	adantl 272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = C /\ t = D ) -> ( v .o t ) = ( v .o D ) )
42	39, 41	opeq12d 3636	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = C /\ t = D ) -> <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. = <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. )
43	37, 42	sylbi 120	. . . . . . . . . 10 |- ( <. u , t >. = <. C , D >. -> <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. = <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. )
44	43	eceq1d 6342	. . . . . . . . 9 |- ( <. u , t >. = <. C , D >. -> [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 )
45	44	eqeq2d 2100	. . . . . . . 8 |- ( <. u , t >. = <. C , D >. -> ( [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 <-> [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 ) )
46	34, 45	anbi12d 458	. . . . . . 7 |- ( <. u , t >. = <. C , D >. -> ( ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 ) ) )
47	31, 46	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( u = C /\ t = D ) -> ( ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 ) ) )
48	47	spc2egv 2709	. . . . 5 |- ( ( C e. om /\ D e. N. ) -> ( ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 ) -> E. u E. t ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
49	48	2eximdv 1811	. . . 4 |- ( ( C e. om /\ D e. N. ) -> ( E. w E. v ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 ) -> E. w E. v E. u E. t ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
50	30, 49	sylan9 402	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) -> E. w E. v E. u E. t ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
51	11, 12, 50	mp2ani 424	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> E. w E. v E. u E. t ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) )
52		ecexg 6310	. . . 4 |- ( ~Q0 e. _V -> [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 e. _V )
53	2, 52	ax-mp 7	. . 3 |- [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 e. _V
54		eqeq1 2095	. . . . . . . 8 |- ( x = [ <. A , B >. ] ~Q0 -> ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 <-> [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
55		eqeq1 2095	. . . . . . . 8 |- ( y = [ <. C , D >. ] ~Q0 -> ( y = [ <. u , t >. ] ~Q0 <-> [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) )
56	54, 55	bi2anan9 574	. . . . . . 7 |- ( ( x = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ y = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) -> ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) <-> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) ) )
57		eqeq1 2095	. . . . . . 7 |- ( z = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 -> ( z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 <-> [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) )
58	56, 57	bi2anan9 574	. . . . . 6 |- ( ( ( x = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ y = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) -> ( ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
59	58	3impa 1139	. . . . 5 |- ( ( x = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ y = [ <. C , D >. ] ~Q0 /\ z = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) -> ( ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
60	59	4exbidv 1799	. . . 4 |- ( ( x = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ y = [ <. C , D >. ] ~Q0 /\ z = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) -> ( E. w E. v E. u E. t ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> E. w E. v E. u E. t ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
61		mulnq0mo 7068	. . . 4 |- ( ( x e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ y e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> E* z E. w E. v E. u E. t ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) )
62		dfmq0qs 7049	. . . 4 |- ·Q0 = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ y e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ E. w E. v E. u E. t ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) }
63	60, 61, 62	ovig 5780	. . 3 |- ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 e. _V ) -> ( E. w E. v E. u E. t ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) -> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. C , D >. ] ~Q0 ) = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) )
64	53, 63	mp3an3 1263	. 2 |- ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> ( E. w E. v E. u E. t ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) -> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. C , D >. ] ~Q0 ) = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) )
65	8, 51, 64	sylc 62	1 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. C , D >. ] ~Q0 ) = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 925   = wceq 1290   E.wex 1427   e. wcel 1439   _Vcvv 2620   <.cop 3453   omcom 4418   X. cxp 4450  (class class class)co 5666   .o comu 6193   [cec 6304   /.cqs 6305   N.cnpi 6892   ~_Q0 ceq0 6906   ·_Q0 cmq0 6910

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-er 6306  df-ec 6308  df-qs 6312  df-ni 6924  df-mi 6926  df-enq0 7044  df-nq0 7045  df-mq0 7048

This theorem is referenced by:  mulclnq0  7072  nqnq0m  7075  nq0m0r  7076  distrnq0  7079  mulcomnq0  7080  nq02m  7085