Theorem mulnnnq0 7534

Description: Multiplication of nonnegative fractions in terms of natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulnnnq0	|- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. C , D >. ] ~Q0 ) = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 )

Proof of Theorem mulnnnq0

Dummy variables x y z w v u t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4696	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> <. A , B >. e. ( om X. N. ) )
2		enq0ex 7523	. . . . 5 |- ~Q0 e. _V
3	2	ecelqsi 6657	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. ( om X. N. ) -> [ <. A , B >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
4	1, 3	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> [ <. A , B >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
5		opelxpi 4696	. . . 4 |- ( ( C e. om /\ D e. N. ) -> <. C , D >. e. ( om X. N. ) )
6	2	ecelqsi 6657	. . . 4 |- ( <. C , D >. e. ( om X. N. ) -> [ <. C , D >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( C e. om /\ D e. N. ) -> [ <. C , D >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
8	4, 7	anim12i 338	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
9		eqid 2196	. . . 4 |- [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q0
10		eqid 2196	. . . 4 |- [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0
11	9, 10	pm3.2i 272	. . 3 |- ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 )
12		eqid 2196	. . 3 |- [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0
13		opeq12 3811	. . . . . 6 |- ( ( w = A /\ v = B ) -> <. w , v >. = <. A , B >. )
14		eceq1 6636	. . . . . . . . 9 |- ( <. w , v >. = <. A , B >. -> [ <. w , v >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q0 )
15	14	eqeq2d 2208	. . . . . . . 8 |- ( <. w , v >. = <. A , B >. -> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 <-> [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q0 ) )
16	15	anbi1d 465	. . . . . . 7 |- ( <. w , v >. = <. A , B >. -> ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) <-> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) ) )
17		vex 2766	. . . . . . . . . . 11 |- w e. _V
18		vex 2766	. . . . . . . . . . 11 |- v e. _V
19	17, 18	opth 4271	. . . . . . . . . 10 |- ( <. w , v >. = <. A , B >. <-> ( w = A /\ v = B ) )
20		oveq1 5932	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = A -> ( w .o C ) = ( A .o C ) )
21	20	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w = A /\ v = B ) -> ( w .o C ) = ( A .o C ) )
22		oveq1 5932	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = B -> ( v .o D ) = ( B .o D ) )
23	22	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w = A /\ v = B ) -> ( v .o D ) = ( B .o D ) )
24	21, 23	opeq12d 3817	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w = A /\ v = B ) -> <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. = <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. )
25	19, 24	sylbi 121	. . . . . . . . 9 |- ( <. w , v >. = <. A , B >. -> <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. = <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. )
26	25	eceq1d 6637	. . . . . . . 8 |- ( <. w , v >. = <. A , B >. -> [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 )
27	26	eqeq2d 2208	. . . . . . 7 |- ( <. w , v >. = <. A , B >. -> ( [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 <-> [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) )
28	16, 27	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( <. w , v >. = <. A , B >. -> ( ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) ) )
29	13, 28	syl 14	. . . . 5 |- ( ( w = A /\ v = B ) -> ( ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) ) )
30	29	spc2egv 2854	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> ( ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) -> E. w E. v ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 ) ) )
31		opeq12 3811	. . . . . . 7 |- ( ( u = C /\ t = D ) -> <. u , t >. = <. C , D >. )
32		eceq1 6636	. . . . . . . . . 10 |- ( <. u , t >. = <. C , D >. -> [ <. u , t >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 )
33	32	eqeq2d 2208	. . . . . . . . 9 |- ( <. u , t >. = <. C , D >. -> ( [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 <-> [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) )
34	33	anbi2d 464	. . . . . . . 8 |- ( <. u , t >. = <. C , D >. -> ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) <-> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) ) )
35		vex 2766	. . . . . . . . . . . 12 |- u e. _V
36		vex 2766	. . . . . . . . . . . 12 |- t e. _V
37	35, 36	opth 4271	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. u , t >. = <. C , D >. <-> ( u = C /\ t = D ) )
38		oveq2 5933	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = C -> ( w .o u ) = ( w .o C ) )
39	38	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = C /\ t = D ) -> ( w .o u ) = ( w .o C ) )
40		oveq2 5933	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = D -> ( v .o t ) = ( v .o D ) )
41	40	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = C /\ t = D ) -> ( v .o t ) = ( v .o D ) )
42	39, 41	opeq12d 3817	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = C /\ t = D ) -> <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. = <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. )
43	37, 42	sylbi 121	. . . . . . . . . 10 |- ( <. u , t >. = <. C , D >. -> <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. = <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. )
44	43	eceq1d 6637	. . . . . . . . 9 |- ( <. u , t >. = <. C , D >. -> [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 )
45	44	eqeq2d 2208	. . . . . . . 8 |- ( <. u , t >. = <. C , D >. -> ( [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 <-> [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 ) )
46	34, 45	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( <. u , t >. = <. C , D >. -> ( ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 ) ) )
47	31, 46	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( u = C /\ t = D ) -> ( ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 ) ) )
48	47	spc2egv 2854	. . . . 5 |- ( ( C e. om /\ D e. N. ) -> ( ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 ) -> E. u E. t ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
49	48	2eximdv 1896	. . . 4 |- ( ( C e. om /\ D e. N. ) -> ( E. w E. v ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 ) -> E. w E. v E. u E. t ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
50	30, 49	sylan9 409	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) -> E. w E. v E. u E. t ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
51	11, 12, 50	mp2ani 432	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> E. w E. v E. u E. t ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) )
52		ecexg 6605	. . . 4 |- ( ~Q0 e. _V -> [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 e. _V )
53	2, 52	ax-mp 5	. . 3 |- [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 e. _V
54		eqeq1 2203	. . . . . . . 8 |- ( x = [ <. A , B >. ] ~Q0 -> ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 <-> [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
55		eqeq1 2203	. . . . . . . 8 |- ( y = [ <. C , D >. ] ~Q0 -> ( y = [ <. u , t >. ] ~Q0 <-> [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) )
56	54, 55	bi2anan9 606	. . . . . . 7 |- ( ( x = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ y = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) -> ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) <-> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) ) )
57		eqeq1 2203	. . . . . . 7 |- ( z = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 -> ( z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 <-> [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) )
58	56, 57	bi2anan9 606	. . . . . 6 |- ( ( ( x = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ y = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) -> ( ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
59	58	3impa 1196	. . . . 5 |- ( ( x = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ y = [ <. C , D >. ] ~Q0 /\ z = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) -> ( ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
60	59	4exbidv 1884	. . . 4 |- ( ( x = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ y = [ <. C , D >. ] ~Q0 /\ z = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) -> ( E. w E. v E. u E. t ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> E. w E. v E. u E. t ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
61		mulnq0mo 7532	. . . 4 |- ( ( x e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ y e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> E* z E. w E. v E. u E. t ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) )
62		dfmq0qs 7513	. . . 4 |- ·Q0 = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ y e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ E. w E. v E. u E. t ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) }
63	60, 61, 62	ovig 6048	. . 3 |- ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 e. _V ) -> ( E. w E. v E. u E. t ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) -> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. C , D >. ] ~Q0 ) = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) )
64	53, 63	mp3an3 1337	. 2 |- ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> ( E. w E. v E. u E. t ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) -> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. C , D >. ] ~Q0 ) = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) )
65	8, 51, 64	sylc 62	1 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. C , D >. ] ~Q0 ) = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   <.cop 3626   omcom 4627   X. cxp 4662  (class class class)co 5925   .o comu 6481   [cec 6599   /.cqs 6600   N.cnpi 7356   ~_Q0 ceq0 7370   ·_Q0 cmq0 7374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-oadd 6487  df-omul 6488  df-er 6601  df-ec 6603  df-qs 6607  df-ni 7388  df-mi 7390  df-enq0 7508  df-nq0 7509  df-mq0 7512

This theorem is referenced by:  mulclnq0  7536  nqnq0m  7539  nq0m0r  7540  distrnq0  7543  mulcomnq0  7544  nq02m  7549