Theorem mulnnnq0 7583

Description: Multiplication of nonnegative fractions in terms of natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulnnnq0	|- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. C , D >. ] ~Q0 ) = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 )

Proof of Theorem mulnnnq0

Dummy variables x y z w v u t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4715	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> <. A , B >. e. ( om X. N. ) )
2		enq0ex 7572	. . . . 5 |- ~Q0 e. _V
3	2	ecelqsi 6689	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. ( om X. N. ) -> [ <. A , B >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
4	1, 3	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> [ <. A , B >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
5		opelxpi 4715	. . . 4 |- ( ( C e. om /\ D e. N. ) -> <. C , D >. e. ( om X. N. ) )
6	2	ecelqsi 6689	. . . 4 |- ( <. C , D >. e. ( om X. N. ) -> [ <. C , D >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( C e. om /\ D e. N. ) -> [ <. C , D >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
8	4, 7	anim12i 338	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
9		eqid 2206	. . . 4 |- [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q0
10		eqid 2206	. . . 4 |- [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0
11	9, 10	pm3.2i 272	. . 3 |- ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 )
12		eqid 2206	. . 3 |- [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0
13		opeq12 3827	. . . . . 6 |- ( ( w = A /\ v = B ) -> <. w , v >. = <. A , B >. )
14		eceq1 6668	. . . . . . . . 9 |- ( <. w , v >. = <. A , B >. -> [ <. w , v >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q0 )
15	14	eqeq2d 2218	. . . . . . . 8 |- ( <. w , v >. = <. A , B >. -> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 <-> [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q0 ) )
16	15	anbi1d 465	. . . . . . 7 |- ( <. w , v >. = <. A , B >. -> ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) <-> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) ) )
17		vex 2776	. . . . . . . . . . 11 |- w e. _V
18		vex 2776	. . . . . . . . . . 11 |- v e. _V
19	17, 18	opth 4289	. . . . . . . . . 10 |- ( <. w , v >. = <. A , B >. <-> ( w = A /\ v = B ) )
20		oveq1 5964	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = A -> ( w .o C ) = ( A .o C ) )
21	20	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w = A /\ v = B ) -> ( w .o C ) = ( A .o C ) )
22		oveq1 5964	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = B -> ( v .o D ) = ( B .o D ) )
23	22	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w = A /\ v = B ) -> ( v .o D ) = ( B .o D ) )
24	21, 23	opeq12d 3833	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w = A /\ v = B ) -> <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. = <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. )
25	19, 24	sylbi 121	. . . . . . . . 9 |- ( <. w , v >. = <. A , B >. -> <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. = <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. )
26	25	eceq1d 6669	. . . . . . . 8 |- ( <. w , v >. = <. A , B >. -> [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 )
27	26	eqeq2d 2218	. . . . . . 7 |- ( <. w , v >. = <. A , B >. -> ( [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 <-> [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) )
28	16, 27	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( <. w , v >. = <. A , B >. -> ( ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) ) )
29	13, 28	syl 14	. . . . 5 |- ( ( w = A /\ v = B ) -> ( ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) ) )
30	29	spc2egv 2867	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> ( ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) -> E. w E. v ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 ) ) )
31		opeq12 3827	. . . . . . 7 |- ( ( u = C /\ t = D ) -> <. u , t >. = <. C , D >. )
32		eceq1 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( <. u , t >. = <. C , D >. -> [ <. u , t >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 )
33	32	eqeq2d 2218	. . . . . . . . 9 |- ( <. u , t >. = <. C , D >. -> ( [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 <-> [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) )
34	33	anbi2d 464	. . . . . . . 8 |- ( <. u , t >. = <. C , D >. -> ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) <-> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) ) )
35		vex 2776	. . . . . . . . . . . 12 |- u e. _V
36		vex 2776	. . . . . . . . . . . 12 |- t e. _V
37	35, 36	opth 4289	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. u , t >. = <. C , D >. <-> ( u = C /\ t = D ) )
38		oveq2 5965	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = C -> ( w .o u ) = ( w .o C ) )
39	38	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = C /\ t = D ) -> ( w .o u ) = ( w .o C ) )
40		oveq2 5965	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = D -> ( v .o t ) = ( v .o D ) )
41	40	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = C /\ t = D ) -> ( v .o t ) = ( v .o D ) )
42	39, 41	opeq12d 3833	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = C /\ t = D ) -> <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. = <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. )
43	37, 42	sylbi 121	. . . . . . . . . 10 |- ( <. u , t >. = <. C , D >. -> <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. = <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. )
44	43	eceq1d 6669	. . . . . . . . 9 |- ( <. u , t >. = <. C , D >. -> [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 )
45	44	eqeq2d 2218	. . . . . . . 8 |- ( <. u , t >. = <. C , D >. -> ( [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 <-> [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 ) )
46	34, 45	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( <. u , t >. = <. C , D >. -> ( ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 ) ) )
47	31, 46	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( u = C /\ t = D ) -> ( ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 ) ) )
48	47	spc2egv 2867	. . . . 5 |- ( ( C e. om /\ D e. N. ) -> ( ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 ) -> E. u E. t ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
49	48	2eximdv 1906	. . . 4 |- ( ( C e. om /\ D e. N. ) -> ( E. w E. v ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 ) -> E. w E. v E. u E. t ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
50	30, 49	sylan9 409	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) -> E. w E. v E. u E. t ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
51	11, 12, 50	mp2ani 432	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> E. w E. v E. u E. t ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) )
52		ecexg 6637	. . . 4 |- ( ~Q0 e. _V -> [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 e. _V )
53	2, 52	ax-mp 5	. . 3 |- [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 e. _V
54		eqeq1 2213	. . . . . . . 8 |- ( x = [ <. A , B >. ] ~Q0 -> ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 <-> [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
55		eqeq1 2213	. . . . . . . 8 |- ( y = [ <. C , D >. ] ~Q0 -> ( y = [ <. u , t >. ] ~Q0 <-> [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) )
56	54, 55	bi2anan9 606	. . . . . . 7 |- ( ( x = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ y = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) -> ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) <-> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) ) )
57		eqeq1 2213	. . . . . . 7 |- ( z = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 -> ( z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 <-> [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) )
58	56, 57	bi2anan9 606	. . . . . 6 |- ( ( ( x = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ y = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) -> ( ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
59	58	3impa 1197	. . . . 5 |- ( ( x = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ y = [ <. C , D >. ] ~Q0 /\ z = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) -> ( ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
60	59	4exbidv 1894	. . . 4 |- ( ( x = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ y = [ <. C , D >. ] ~Q0 /\ z = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) -> ( E. w E. v E. u E. t ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> E. w E. v E. u E. t ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
61		mulnq0mo 7581	. . . 4 |- ( ( x e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ y e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> E* z E. w E. v E. u E. t ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) )
62		dfmq0qs 7562	. . . 4 |- ·Q0 = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ y e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ E. w E. v E. u E. t ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) }
63	60, 61, 62	ovig 6080	. . 3 |- ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 e. _V ) -> ( E. w E. v E. u E. t ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) -> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. C , D >. ] ~Q0 ) = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) )
64	53, 63	mp3an3 1339	. 2 |- ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> ( E. w E. v E. u E. t ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) -> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. C , D >. ] ~Q0 ) = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) )
65	8, 51, 64	sylc 62	1 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. C , D >. ] ~Q0 ) = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2177   _Vcvv 2773   <.cop 3641   omcom 4646   X. cxp 4681  (class class class)co 5957   .o comu 6513   [cec 6631   /.cqs 6632   N.cnpi 7405   ~_Q0 ceq0 7419   ·_Q0 cmq0 7423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-irdg 6469  df-oadd 6519  df-omul 6520  df-er 6633  df-ec 6635  df-qs 6639  df-ni 7437  df-mi 7439  df-enq0 7557  df-nq0 7558  df-mq0 7561

This theorem is referenced by:  mulclnq0  7585  nqnq0m  7588  nq0m0r  7589  distrnq0  7592  mulcomnq0  7593  nq02m  7598