ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulnnnq0 Unicode version

Theorem mulnnnq0 7070
Description: Multiplication of nonnegative fractions in terms of natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulnnnq0  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  )

Proof of Theorem mulnnnq0
Dummy variables  x  y  z  w  v  u  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opelxpi 4483 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. ) )
2 enq0ex 7059 . . . . 5  |- ~Q0  e.  _V
32ecelqsi 6360 . . . 4  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. )  ->  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )
41, 3syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  ->  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )
5 opelxpi 4483 . . . 4  |-  ( ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )  -> 
<. C ,  D >.  e.  ( om  X.  N. ) )
62ecelqsi 6360 . . . 4  |-  ( <. C ,  D >.  e.  ( om  X.  N. )  ->  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )
75, 6syl 14 . . 3  |-  ( ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )  ->  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )
84, 7anim12i 332 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
9 eqid 2089 . . . 4  |-  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0
10 eqid 2089 . . . 4  |-  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0
119, 10pm3.2i 267 . . 3  |-  ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )
12 eqid 2089 . . 3  |-  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0
13 opeq12 3630 . . . . . 6  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  -> 
<. w ,  v >.  =  <. A ,  B >. )
14 eceq1 6341 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
w ,  v >.  =  <. A ,  B >.  ->  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  )
1514eqeq2d 2100 . . . . . . . 8  |-  ( <.
w ,  v >.  =  <. A ,  B >.  ->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  <->  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  ) )
1615anbi1d 454 . . . . . . 7  |-  ( <.
w ,  v >.  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  ) 
<->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  ) ) )
17 vex 2623 . . . . . . . . . . 11  |-  w  e. 
_V
18 vex 2623 . . . . . . . . . . 11  |-  v  e. 
_V
1917, 18opth 4073 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
w ,  v >.  =  <. A ,  B >.  <-> 
( w  =  A  /\  v  =  B ) )
20 oveq1 5673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  A  ->  (
w  .o  C )  =  ( A  .o  C ) )
2120adantr 271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  ->  ( w  .o  C
)  =  ( A  .o  C ) )
22 oveq1 5673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  B  ->  (
v  .o  D )  =  ( B  .o  D ) )
2322adantl 272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  ->  ( v  .o  D
)  =  ( B  .o  D ) )
2421, 23opeq12d 3636 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  -> 
<. ( w  .o  C
) ,  ( v  .o  D ) >.  =  <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D )
>. )
2519, 24sylbi 120 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
w ,  v >.  =  <. A ,  B >.  ->  <. ( w  .o  C ) ,  ( v  .o  D )
>.  =  <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. )
2625eceq1d 6342 . . . . . . . 8  |-  ( <.
w ,  v >.  =  <. A ,  B >.  ->  [ <. (
w  .o  C ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  )
2726eqeq2d 2100 . . . . . . 7  |-  ( <.
w ,  v >.  =  <. A ,  B >.  ->  ( [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  C ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  <->  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D )
>. ] ~Q0  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D )
>. ] ~Q0  ) )
2816, 27anbi12d 458 . . . . . 6  |-  ( <.
w ,  v >.  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  C ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  )  <->  ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  ) ) )
2913, 28syl 14 . . . . 5  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  ->  ( ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  C ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  )  <->  ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  ) ) )
3029spc2egv 2709 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  )  ->  E. w E. v ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  C ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  ) ) )
31 opeq12 3630 . . . . . . 7  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  -> 
<. u ,  t >.  =  <. C ,  D >. )
32 eceq1 6341 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
u ,  t >.  =  <. C ,  D >.  ->  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )
3332eqeq2d 2100 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
u ,  t >.  =  <. C ,  D >.  ->  ( [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  <->  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  ) )
3433anbi2d 453 . . . . . . . 8  |-  ( <.
u ,  t >.  =  <. C ,  D >.  ->  ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  ) 
<->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  ) ) )
35 vex 2623 . . . . . . . . . . . 12  |-  u  e. 
_V
36 vex 2623 . . . . . . . . . . . 12  |-  t  e. 
_V
3735, 36opth 4073 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
u ,  t >.  =  <. C ,  D >.  <-> 
( u  =  C  /\  t  =  D ) )
38 oveq2 5674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  C  ->  (
w  .o  u )  =  ( w  .o  C ) )
3938adantr 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  ->  ( w  .o  u
)  =  ( w  .o  C ) )
40 oveq2 5674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  D  ->  (
v  .o  t )  =  ( v  .o  D ) )
4140adantl 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  ->  ( v  .o  t
)  =  ( v  .o  D ) )
4239, 41opeq12d 3636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  -> 
<. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  t ) >.  =  <. ( w  .o  C ) ,  ( v  .o  D )
>. )
4337, 42sylbi 120 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
u ,  t >.  =  <. C ,  D >.  ->  <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t )
>.  =  <. ( w  .o  C ) ,  ( v  .o  D
) >. )
4443eceq1d 6342 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
u ,  t >.  =  <. C ,  D >.  ->  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  C ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  )
4544eqeq2d 2100 . . . . . . . 8  |-  ( <.
u ,  t >.  =  <. C ,  D >.  ->  ( [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  <->  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D )
>. ] ~Q0  =  [ <. ( w  .o  C ) ,  ( v  .o  D )
>. ] ~Q0  ) )
4634, 45anbi12d 458 . . . . . . 7  |-  ( <.
u ,  t >.  =  <. C ,  D >.  ->  ( ( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  <->  ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  C ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  ) ) )
4731, 46syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  ->  ( ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  <->  ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  C ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  ) ) )
4847spc2egv 2709 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )  ->  ( ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  C ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  )  ->  E. u E. t ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) ) )
49482eximdv 1811 . . . 4  |-  ( ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )  ->  ( E. w E. v ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  C ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  )  ->  E. w E. v E. u E. t ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) ) )
5030, 49sylan9 402 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( (
( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  )  ->  E. w E. v E. u E. t ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) ) )
5111, 12, 50mp2ani 424 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  E. w E. v E. u E. t ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) )
52 ecexg 6310 . . . 4  |-  ( ~Q0  e.  _V  ->  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D )
>. ] ~Q0  e.  _V )
532, 52ax-mp 7 . . 3  |-  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  e.  _V
54 eqeq1 2095 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  ->  ( x  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  <->  [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  ) )
55 eqeq1 2095 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  ->  ( y  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  <->  [
<. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  ) )
5654, 55bi2anan9 574 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  ->  ( ( x  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  <-> 
( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  ) ) )
57 eqeq1 2095 . . . . . . 7  |-  ( z  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  ->  ( z  =  [ <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  <->  [
<. ( A  .o  C
) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  ) )
5856, 57bi2anan9 574 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D )
>. ] ~Q0  )  ->  ( ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  <-> 
( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) ) )
59583impa 1139 . . . . 5  |-  ( ( x  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  /\  z  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  )  ->  ( (
( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  ) 
<->  ( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) ) )
60594exbidv 1799 . . . 4  |-  ( ( x  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  /\  z  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  )  ->  ( E. w E. v E. u E. t ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  <->  E. w E. v E. u E. t ( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) ) )
61 mulnq0mo 7068 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  y  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  ->  E* z E. w E. v E. u E. t ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  ) )
62 dfmq0qs 7049 . . . 4  |- ·Q0 
=  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  y  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  E. w E. v E. u E. t ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) ) }
6360, 61, 62ovig 5780 . . 3  |-  ( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  e.  _V )  -> 
( E. w E. v E. u E. t
( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  ->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  ) )
6453, 63mp3an3 1263 . 2  |-  ( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )  ->  ( E. w E. v E. u E. t ( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  ->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  ) )
658, 51, 64sylc 62 1  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( A  .o  C ) ,  ( B  .o  D
) >. ] ~Q0  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 925    = wceq 1290   E.wex 1427    e. wcel 1439   _Vcvv 2620   <.cop 3453   omcom 4418    X. cxp 4450  (class class class)co 5666    .o comu 6193   [cec 6304   /.cqs 6305   N.cnpi 6892   ~Q0 ceq0 6906   ·Q0 cmq0 6910
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-er 6306  df-ec 6308  df-qs 6312  df-ni 6924  df-mi 6926  df-enq0 7044  df-nq0 7045  df-mq0 7048
This theorem is referenced by:  mulclnq0  7072  nqnq0m  7075  nq0m0r  7076  distrnq0  7079  mulcomnq0  7080  nq02m  7085
  Copyright terms: Public domain W3C validator