Theorem dfplq0qs 7617

Description: Addition on nonnegative fractions. This definition is similar to df-plq0 7614 but expands Q₀. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dfplq0qs	|- +Q0 = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ y e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , f >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o f ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o f ) >. ] ~Q0 ) ) }

Distinct variable group:   x, y, z, w, v, u, f

Proof of Theorem dfplq0qs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-plq0 7614	. 2 |- +Q0 = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. Q0 /\ y e. Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , f >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o f ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o f ) >. ] ~Q0 ) ) }
2		df-nq0 7612	. . . . . 6 |- Q0 = ( ( om X. N. ) /. ~Q0 )
3	2	eleq2i 2296	. . . . 5 |- ( x e. Q0 <-> x e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
4	2	eleq2i 2296	. . . . 5 |- ( y e. Q0 <-> y e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
5	3, 4	anbi12i 460	. . . 4 |- ( ( x e. Q0 /\ y e. Q0 ) <-> ( x e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ y e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
6	5	anbi1i 458	. . 3 |- ( ( ( x e. Q0 /\ y e. Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , f >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o f ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o f ) >. ] ~Q0 ) ) <-> ( ( x e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ y e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , f >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o f ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o f ) >. ] ~Q0 ) ) )
7	6	oprabbii 6059	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. Q0 /\ y e. Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , f >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o f ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o f ) >. ] ~Q0 ) ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ y e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , f >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o f ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o f ) >. ] ~Q0 ) ) }
8	1, 7	eqtri 2250	1 |- +Q0 = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ y e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , f >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o f ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o f ) >. ] ~Q0 ) ) }

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   <.cop 3669   omcom 4682   X. cxp 4717  (class class class)co 6001   {coprab 6002   +o coa 6559   .o comu 6560   [cec 6678   /.cqs 6679   N.cnpi 7459   ~_Q0 ceq0 7473  Q₀cnq0 7474   +_Q0 cplq0 7476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-11 1552  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-oprab 6005  df-nq0 7612  df-plq0 7614

This theorem is referenced by:  addnnnq0  7636