Theorem lringring 13750

Description: A local ring is a ring. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2025.) (Revised by SN, 23-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lringring	|- ( R e. LRing -> R e. Ring )

Proof of Theorem lringring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lringnzr 13749	. 2 |- ( R e. LRing -> R e. NzRing )
2		nzrring 13739	. 2 |- ( R e. NzRing -> R e. Ring )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( R e. LRing -> R e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   Ringcrg 13552  NzRingcnzr 13735  LRingclring 13746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rab 2484  df-in 3163  df-ss 3170  df-nzr 13736  df-lring 13747

This theorem is referenced by:  lringuplu  13752  aprcotr  13841  aprap  13842