Theorem aprap 14707

Description: The relation given by df-apr 14699 for a local ring is an apartness relation. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
aprap	|- ( R e. LRing -> ( #r ` R ) Ap ( Base ` R ) )

Proof of Theorem aprap

Dummy variables r x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-apr 14699	. . . 4 |- #r = ( r e. _V |-> { <. x , y >. | ( ( x e. ( Base ` r ) /\ y e. ( Base ` r ) ) /\ ( x ( -g ` r ) y ) e. (Unit ` r ) ) } )
2		fveq2 5698	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( Base ` r ) = ( Base ` R ) )
3	2	eleq2d 2308	. . . . . . 7 |- ( r = R -> ( x e. ( Base ` r ) <-> x e. ( Base ` R ) ) )
4	2	eleq2d 2308	. . . . . . 7 |- ( r = R -> ( y e. ( Base ` r ) <-> y e. ( Base ` R ) ) )
5	3, 4	anbi12d 477	. . . . . 6 |- ( r = R -> ( ( x e. ( Base ` r ) /\ y e. ( Base ` r ) ) <-> ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) )
6		fveq2 5698	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( -g ` r ) = ( -g ` R ) )
7	6	oveqd 6105	. . . . . . 7 |- ( r = R -> ( x ( -g ` r ) y ) = ( x ( -g ` R ) y ) )
8		fveq2 5698	. . . . . . 7 |- ( r = R -> (Unit ` r ) = (Unit ` R ) )
9	7, 8	eleq12d 2309	. . . . . 6 |- ( r = R -> ( ( x ( -g ` r ) y ) e. (Unit ` r ) <-> ( x ( -g ` R ) y ) e. (Unit ` R ) ) )
10	5, 9	anbi12d 477	. . . . 5 |- ( r = R -> ( ( ( x e. ( Base ` r ) /\ y e. ( Base ` r ) ) /\ ( x ( -g ` r ) y ) e. (Unit ` r ) ) <-> ( ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( -g ` R ) y ) e. (Unit ` R ) ) ) )
11	10	opabbidv 4198	. . . 4 |- ( r = R -> { <. x , y >. | ( ( x e. ( Base ` r ) /\ y e. ( Base ` r ) ) /\ ( x ( -g ` r ) y ) e. (Unit ` r ) ) } = { <. x , y >. | ( ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( -g ` R ) y ) e. (Unit ` R ) ) } )
12		elex 2833	. . . 4 |- ( R e. LRing -> R e. _V )
13		basfn 13469	. . . . . . . 8 |- Base Fn _V
14	13	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( R e. LRing -> Base Fn _V )
15		funfvex 5715	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
16	15	funfni 5486	. . . . . . 7 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
17	14, 12, 16	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( R e. LRing -> ( Base ` R ) e. _V )
18		xpexg 4891	. . . . . 6 |- ( ( ( Base ` R ) e. _V /\ ( Base ` R ) e. _V ) -> ( ( Base ` R ) X. ( Base ` R ) ) e. _V )
19	17, 17, 18	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( R e. LRing -> ( ( Base ` R ) X. ( Base ` R ) ) e. _V )
20		opabssxp 4851	. . . . . 6 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( -g ` R ) y ) e. (Unit ` R ) ) } C_ ( ( Base ` R ) X. ( Base ` R ) )
21	20	a1i 9	. . . . 5 |- ( R e. LRing -> { <. x , y >. | ( ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( -g ` R ) y ) e. (Unit ` R ) ) } C_ ( ( Base ` R ) X. ( Base ` R ) ) )
22	19, 21	ssexd 4275	. . . 4 |- ( R e. LRing -> { <. x , y >. | ( ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( -g ` R ) y ) e. (Unit ` R ) ) } e. _V )
23	1, 11, 12, 22	fvmptd3 5802	. . 3 |- ( R e. LRing -> ( #r ` R ) = { <. x , y >. | ( ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( -g ` R ) y ) e. (Unit ` R ) ) } )
24	23, 20	eqsstrdi 3300	. 2 |- ( R e. LRing -> ( #r ` R ) C_ ( ( Base ` R ) X. ( Base ` R ) ) )
25		eqidd 2239	. . . 4 |- ( ( R e. LRing /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` R ) )
26		eqidd 2239	. . . 4 |- ( ( R e. LRing /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( #r ` R ) = ( #r ` R ) )
27		lringring 14610	. . . . 5 |- ( R e. LRing -> R e. Ring )
28	27	adantr 276	. . . 4 |- ( ( R e. LRing /\ x e. ( Base ` R ) ) -> R e. Ring )
29		simpr 110	. . . 4 |- ( ( R e. LRing /\ x e. ( Base ` R ) ) -> x e. ( Base ` R ) )
30		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
31		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
32	30, 31	lringnz 14611	. . . . 5 |- ( R e. LRing -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) )
33	32	adantr 276	. . . 4 |- ( ( R e. LRing /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) )
34	25, 26, 28, 29, 33	aprirr 14704	. . 3 |- ( ( R e. LRing /\ x e. ( Base ` R ) ) -> -. x ( #r ` R ) x )
35	34	ralrimiva 2623	. 2 |- ( R e. LRing -> A. x e. ( Base ` R ) -. x ( #r ` R ) x )
36		eqidd 2239	. . . . 5 |- ( ( R e. LRing /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` R ) )
37		eqidd 2239	. . . . 5 |- ( ( R e. LRing /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( #r ` R ) = ( #r ` R ) )
38	27	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( R e. LRing /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> R e. Ring )
39		simprl 535	. . . . 5 |- ( ( R e. LRing /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> x e. ( Base ` R ) )
40		simprr 537	. . . . 5 |- ( ( R e. LRing /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> y e. ( Base ` R ) )
41	36, 37, 38, 39, 40	aprsym 14705	. . . 4 |- ( ( R e. LRing /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( #r ` R ) y -> y ( #r ` R ) x ) )
42	41	ralrimivva 2632	. . 3 |- ( R e. LRing -> A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) ( x ( #r ` R ) y -> y ( #r ` R ) x ) )
43		eqidd 2239	. . . . 5 |- ( ( R e. LRing /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` R ) )
44		eqidd 2239	. . . . 5 |- ( ( R e. LRing /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( #r ` R ) = ( #r ` R ) )
45		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( R e. LRing /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> R e. LRing )
46		simpr1 1034	. . . . 5 |- ( ( R e. LRing /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> x e. ( Base ` R ) )
47		simpr2 1035	. . . . 5 |- ( ( R e. LRing /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> y e. ( Base ` R ) )
48		simpr3 1036	. . . . 5 |- ( ( R e. LRing /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> z e. ( Base ` R ) )
49	43, 44, 45, 46, 47, 48	aprcotr 14706	. . . 4 |- ( ( R e. LRing /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( #r ` R ) y -> ( x ( #r ` R ) z \/ y ( #r ` R ) z ) ) )
50	49	ralrimivvva 2633	. . 3 |- ( R e. LRing -> A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( x ( #r ` R ) y -> ( x ( #r ` R ) z \/ y ( #r ` R ) z ) ) )
51	42, 50	jca 306	. 2 |- ( R e. LRing -> ( A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) ( x ( #r ` R ) y -> y ( #r ` R ) x ) /\ A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( x ( #r ` R ) y -> ( x ( #r ` R ) z \/ y ( #r ` R ) z ) ) ) )
52		df-pap 7614	. 2 |- ( ( #r ` R ) Ap ( Base ` R ) <-> ( ( ( #r ` R ) C_ ( ( Base ` R ) X. ( Base ` R ) ) /\ A. x e. ( Base ` R ) -. x ( #r ` R ) x ) /\ ( A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) ( x ( #r ` R ) y -> y ( #r ` R ) x ) /\ A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( x ( #r ` R ) y -> ( x ( #r ` R ) z \/ y ( #r ` R ) z ) ) ) ) )
53	24, 35, 51, 52	syl21anbrc 1213	1 |- ( R e. LRing -> ( #r ` R ) Ap ( Base ` R ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   A.wral 2528   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   class class class wbr 4131   {copab 4192   X. cxp 4774   Fn wfn 5375   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Ap wap 7613   Basecbs 13410   0gc0g 13669   -gcsg 13866   1rcur 14369   Ringcrg 14407  Unitcui 14502  LRingclring 14606   #_r capr 14698

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-tpos 6520  df-pap 7614  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-iress 13418  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-sbg 13869  df-cmn 14179  df-abl 14180  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-srg 14375  df-ring 14409  df-oppr 14482  df-dvdsr 14504  df-unit 14505  df-invr 14537  df-dvr 14548  df-nzr 14596  df-lring 14607  df-apr 14699

This theorem is used by:  aprlring  14709