Theorem aprcotr 13380

Description: The apartness relation given by df-apr 13376 for a local ring is cotransitive. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aprcotr.b	|- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
aprcotr.ap	|- ( ph -> # = (#r ` R ) )
aprcotr.r	|- ( ph -> R e. LRing )
aprcotr.x	|- ( ph -> X e. B )
aprcotr.y	|- ( ph -> Y e. B )
aprcotr.z	|- ( ph -> Z e. B )

Assertion

Ref	Expression
aprcotr	|- ( ph -> ( X # Y -> ( X # Z \/ Y # Z ) ) )

Proof of Theorem aprcotr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aprcotr.b	. . . . 5 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> B = ( Base ` R ) )
3		eqidd 2178	. . . 4 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> (Unit ` R ) = (Unit ` R ) )
4		eqidd 2178	. . . 4 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( +g ` R ) = ( +g ` R ) )
5		aprcotr.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. LRing )
6	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> R e. LRing )
7		lringring 13340	. . . . . . . . 9 |- ( R e. LRing -> R e. Ring )
8	5, 7	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. Ring )
9	8	ringgrpd 13193	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. Grp )
10		aprcotr.x	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. B )
11	10, 1	eleqtrd 2256	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. ( Base ` R ) )
12		aprcotr.z	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Z e. B )
13	12, 1	eleqtrd 2256	. . . . . . 7 |- ( ph -> Z e. ( Base ` R ) )
14		aprcotr.y	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. B )
15	14, 1	eleqtrd 2256	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. ( Base ` R ) )
16		eqid 2177	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
17		eqid 2177	. . . . . . . 8 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
18		eqid 2177	. . . . . . . 8 |- ( -g ` R ) = ( -g ` R )
19	16, 17, 18	grpnpncan 12970	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Grp /\ ( X e. ( Base ` R ) /\ Z e. ( Base ` R ) /\ Y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( X ( -g ` R ) Z ) ( +g ` R ) ( Z ( -g ` R ) Y ) ) = ( X ( -g ` R ) Y ) )
20	9, 11, 13, 15, 19	syl13anc 1240	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( X ( -g ` R ) Z ) ( +g ` R ) ( Z ( -g ` R ) Y ) ) = ( X ( -g ` R ) Y ) )
21	20	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( ( X ( -g ` R ) Z ) ( +g ` R ) ( Z ( -g ` R ) Y ) ) = ( X ( -g ` R ) Y ) )
22		aprcotr.ap	. . . . . . 7 |- ( ph -> # = (#r ` R ) )
23		eqidd 2178	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -g ` R ) = ( -g ` R ) )
24		eqidd 2178	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Unit ` R ) = (Unit ` R ) )
25	1, 22, 23, 24, 8, 10, 14	aprval 13377	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X # Y <-> ( X ( -g ` R ) Y ) e. (Unit ` R ) ) )
26	25	biimpa 296	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( X ( -g ` R ) Y ) e. (Unit ` R ) )
27	21, 26	eqeltrd 2254	. . . 4 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( ( X ( -g ` R ) Z ) ( +g ` R ) ( Z ( -g ` R ) Y ) ) e. (Unit ` R ) )
28	16, 18	grpsubcl 12955	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Grp /\ X e. ( Base ` R ) /\ Z e. ( Base ` R ) ) -> ( X ( -g ` R ) Z ) e. ( Base ` R ) )
29	9, 11, 13, 28	syl3anc 1238	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X ( -g ` R ) Z ) e. ( Base ` R ) )
30	29, 1	eleqtrrd 2257	. . . . 5 |- ( ph -> ( X ( -g ` R ) Z ) e. B )
31	30	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( X ( -g ` R ) Z ) e. B )
32	16, 18	grpsubcl 12955	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Grp /\ Z e. ( Base ` R ) /\ Y e. ( Base ` R ) ) -> ( Z ( -g ` R ) Y ) e. ( Base ` R ) )
33	9, 13, 15, 32	syl3anc 1238	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Z ( -g ` R ) Y ) e. ( Base ` R ) )
34	33, 1	eleqtrrd 2257	. . . . 5 |- ( ph -> ( Z ( -g ` R ) Y ) e. B )
35	34	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( Z ( -g ` R ) Y ) e. B )
36	2, 3, 4, 6, 27, 31, 35	lringuplu 13342	. . 3 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( ( X ( -g ` R ) Z ) e. (Unit ` R ) \/ ( Z ( -g ` R ) Y ) e. (Unit ` R ) ) )
37	1, 22, 23, 24, 8, 10, 12	aprval 13377	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X # Z <-> ( X ( -g ` R ) Z ) e. (Unit ` R ) ) )
38	37	biimprd 158	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( X ( -g ` R ) Z ) e. (Unit ` R ) -> X # Z ) )
39	38	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( ( X ( -g ` R ) Z ) e. (Unit ` R ) -> X # Z ) )
40	1, 22, 23, 24, 8, 12, 14	aprval 13377	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Z # Y <-> ( Z ( -g ` R ) Y ) e. (Unit ` R ) ) )
41	1, 22, 8, 12, 14	aprsym 13379	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Z # Y -> Y # Z ) )
42	40, 41	sylbird 170	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Z ( -g ` R ) Y ) e. (Unit ` R ) -> Y # Z ) )
43	42	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( ( Z ( -g ` R ) Y ) e. (Unit ` R ) -> Y # Z ) )
44	39, 43	orim12d 786	. . 3 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( ( ( X ( -g ` R ) Z ) e. (Unit ` R ) \/ ( Z ( -g ` R ) Y ) e. (Unit ` R ) ) -> ( X # Z \/ Y # Z ) ) )
45	36, 44	mpd 13	. 2 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( X # Z \/ Y # Z ) )
46	45	ex 115	1 |- ( ph -> ( X # Y -> ( X # Z \/ Y # Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   Basecbs 12464   +g cplusg 12538   Grpcgrp 12882   -gcsg 12884   Ringcrg 13184  Unitcui 13261  LRingclring 13336  #_rcapr 13375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-tpos 6248  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-iress 12472  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-sbg 12887  df-cmn 13095  df-abl 13096  df-mgp 13136  df-ur 13148  df-srg 13152  df-ring 13186  df-oppr 13245  df-dvdsr 13263  df-unit 13264  df-invr 13295  df-dvr 13306  df-nzr 13329  df-lring 13337  df-apr 13376

This theorem is referenced by:  aprap  13381