Theorem aprcotr 14570

Description: The apartness relation given by df-apr 14563 for a local ring is cotransitive. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aprcotr.b	|- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
aprcotr.ap	|- ( ph -> # = (#r ` R ) )
aprcotr.r	|- ( ph -> R e. LRing )
aprcotr.x	|- ( ph -> X e. B )
aprcotr.y	|- ( ph -> Y e. B )
aprcotr.z	|- ( ph -> Z e. B )

Assertion

Ref	Expression
aprcotr	|- ( ph -> ( X # Y -> ( X # Z \/ Y # Z ) ) )

Proof of Theorem aprcotr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aprcotr.b	. . . . 5 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> B = ( Base ` R ) )
3		eqidd 2239	. . . 4 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> (Unit ` R ) = (Unit ` R ) )
4		eqidd 2239	. . . 4 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( +g ` R ) = ( +g ` R ) )
5		aprcotr.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. LRing )
6	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> R e. LRing )
7		lringring 14474	. . . . . . . . 9 |- ( R e. LRing -> R e. Ring )
8	5, 7	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. Ring )
9	8	ringgrpd 14283	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. Grp )
10		aprcotr.x	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. B )
11	10, 1	eleqtrd 2317	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. ( Base ` R ) )
12		aprcotr.z	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Z e. B )
13	12, 1	eleqtrd 2317	. . . . . . 7 |- ( ph -> Z e. ( Base ` R ) )
14		aprcotr.y	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. B )
15	14, 1	eleqtrd 2317	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. ( Base ` R ) )
16		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
17		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
18		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( -g ` R ) = ( -g ` R )
19	16, 17, 18	grpnpncan 13877	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Grp /\ ( X e. ( Base ` R ) /\ Z e. ( Base ` R ) /\ Y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( X ( -g ` R ) Z ) ( +g ` R ) ( Z ( -g ` R ) Y ) ) = ( X ( -g ` R ) Y ) )
20	9, 11, 13, 15, 19	syl13anc 1280	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( X ( -g ` R ) Z ) ( +g ` R ) ( Z ( -g ` R ) Y ) ) = ( X ( -g ` R ) Y ) )
21	20	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( ( X ( -g ` R ) Z ) ( +g ` R ) ( Z ( -g ` R ) Y ) ) = ( X ( -g ` R ) Y ) )
22		aprcotr.ap	. . . . . . 7 |- ( ph -> # = (#r ` R ) )
23		eqidd 2239	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -g ` R ) = ( -g ` R ) )
24		eqidd 2239	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Unit ` R ) = (Unit ` R ) )
25	1, 22, 23, 24, 8, 10, 14	aprval 14564	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X # Y <-> ( X ( -g ` R ) Y ) e. (Unit ` R ) ) )
26	25	biimpa 296	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( X ( -g ` R ) Y ) e. (Unit ` R ) )
27	21, 26	eqeltrd 2315	. . . 4 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( ( X ( -g ` R ) Z ) ( +g ` R ) ( Z ( -g ` R ) Y ) ) e. (Unit ` R ) )
28	16, 18	grpsubcl 13862	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Grp /\ X e. ( Base ` R ) /\ Z e. ( Base ` R ) ) -> ( X ( -g ` R ) Z ) e. ( Base ` R ) )
29	9, 11, 13, 28	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X ( -g ` R ) Z ) e. ( Base ` R ) )
30	29, 1	eleqtrrd 2318	. . . . 5 |- ( ph -> ( X ( -g ` R ) Z ) e. B )
31	30	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( X ( -g ` R ) Z ) e. B )
32	16, 18	grpsubcl 13862	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Grp /\ Z e. ( Base ` R ) /\ Y e. ( Base ` R ) ) -> ( Z ( -g ` R ) Y ) e. ( Base ` R ) )
33	9, 13, 15, 32	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Z ( -g ` R ) Y ) e. ( Base ` R ) )
34	33, 1	eleqtrrd 2318	. . . . 5 |- ( ph -> ( Z ( -g ` R ) Y ) e. B )
35	34	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( Z ( -g ` R ) Y ) e. B )
36	2, 3, 4, 6, 27, 31, 35	lringuplu 14476	. . 3 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( ( X ( -g ` R ) Z ) e. (Unit ` R ) \/ ( Z ( -g ` R ) Y ) e. (Unit ` R ) ) )
37	1, 22, 23, 24, 8, 10, 12	aprval 14564	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X # Z <-> ( X ( -g ` R ) Z ) e. (Unit ` R ) ) )
38	37	biimprd 158	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( X ( -g ` R ) Z ) e. (Unit ` R ) -> X # Z ) )
39	38	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( ( X ( -g ` R ) Z ) e. (Unit ` R ) -> X # Z ) )
40	1, 22, 23, 24, 8, 12, 14	aprval 14564	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Z # Y <-> ( Z ( -g ` R ) Y ) e. (Unit ` R ) ) )
41	1, 22, 8, 12, 14	aprsym 14569	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Z # Y -> Y # Z ) )
42	40, 41	sylbird 170	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Z ( -g ` R ) Y ) e. (Unit ` R ) -> Y # Z ) )
43	42	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( ( Z ( -g ` R ) Y ) e. (Unit ` R ) -> Y # Z ) )
44	39, 43	orim12d 798	. . 3 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( ( ( X ( -g ` R ) Z ) e. (Unit ` R ) \/ ( Z ( -g ` R ) Y ) e. (Unit ` R ) ) -> ( X # Z \/ Y # Z ) ) )
45	36, 44	mpd 13	. 2 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( X # Z \/ Y # Z ) )
46	45	ex 115	1 |- ( ph -> ( X # Y -> ( X # Z \/ Y # Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Basecbs 13330   +g cplusg 13408   Grpcgrp 13782   -gcsg 13784   Ringcrg 14274  Unitcui 14366  LRingclring 14470  #_rcapr 14562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-tpos 6506  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-iress 13338  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785  df-minusg 13786  df-sbg 13787  df-cmn 14066  df-abl 14067  df-mgp 14195  df-ur 14238  df-srg 14242  df-ring 14276  df-oppr 14346  df-dvdsr 14368  df-unit 14369  df-invr 14401  df-dvr 14412  df-nzr 14460  df-lring 14471  df-apr 14563

This theorem is referenced by:  aprap  14571