Theorem aprcotr 13784

Description: The apartness relation given by df-apr 13780 for a local ring is cotransitive. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aprcotr.b	|- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
aprcotr.ap	|- ( ph -> # = (#r ` R ) )
aprcotr.r	|- ( ph -> R e. LRing )
aprcotr.x	|- ( ph -> X e. B )
aprcotr.y	|- ( ph -> Y e. B )
aprcotr.z	|- ( ph -> Z e. B )

Assertion

Ref	Expression
aprcotr	|- ( ph -> ( X # Y -> ( X # Z \/ Y # Z ) ) )

Proof of Theorem aprcotr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aprcotr.b	. . . . 5 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> B = ( Base ` R ) )
3		eqidd 2194	. . . 4 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> (Unit ` R ) = (Unit ` R ) )
4		eqidd 2194	. . . 4 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( +g ` R ) = ( +g ` R ) )
5		aprcotr.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. LRing )
6	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> R e. LRing )
7		lringring 13693	. . . . . . . . 9 |- ( R e. LRing -> R e. Ring )
8	5, 7	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. Ring )
9	8	ringgrpd 13504	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. Grp )
10		aprcotr.x	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. B )
11	10, 1	eleqtrd 2272	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. ( Base ` R ) )
12		aprcotr.z	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Z e. B )
13	12, 1	eleqtrd 2272	. . . . . . 7 |- ( ph -> Z e. ( Base ` R ) )
14		aprcotr.y	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. B )
15	14, 1	eleqtrd 2272	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. ( Base ` R ) )
16		eqid 2193	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
17		eqid 2193	. . . . . . . 8 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
18		eqid 2193	. . . . . . . 8 |- ( -g ` R ) = ( -g ` R )
19	16, 17, 18	grpnpncan 13170	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Grp /\ ( X e. ( Base ` R ) /\ Z e. ( Base ` R ) /\ Y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( X ( -g ` R ) Z ) ( +g ` R ) ( Z ( -g ` R ) Y ) ) = ( X ( -g ` R ) Y ) )
20	9, 11, 13, 15, 19	syl13anc 1251	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( X ( -g ` R ) Z ) ( +g ` R ) ( Z ( -g ` R ) Y ) ) = ( X ( -g ` R ) Y ) )
21	20	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( ( X ( -g ` R ) Z ) ( +g ` R ) ( Z ( -g ` R ) Y ) ) = ( X ( -g ` R ) Y ) )
22		aprcotr.ap	. . . . . . 7 |- ( ph -> # = (#r ` R ) )
23		eqidd 2194	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -g ` R ) = ( -g ` R ) )
24		eqidd 2194	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Unit ` R ) = (Unit ` R ) )
25	1, 22, 23, 24, 8, 10, 14	aprval 13781	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X # Y <-> ( X ( -g ` R ) Y ) e. (Unit ` R ) ) )
26	25	biimpa 296	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( X ( -g ` R ) Y ) e. (Unit ` R ) )
27	21, 26	eqeltrd 2270	. . . 4 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( ( X ( -g ` R ) Z ) ( +g ` R ) ( Z ( -g ` R ) Y ) ) e. (Unit ` R ) )
28	16, 18	grpsubcl 13155	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Grp /\ X e. ( Base ` R ) /\ Z e. ( Base ` R ) ) -> ( X ( -g ` R ) Z ) e. ( Base ` R ) )
29	9, 11, 13, 28	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X ( -g ` R ) Z ) e. ( Base ` R ) )
30	29, 1	eleqtrrd 2273	. . . . 5 |- ( ph -> ( X ( -g ` R ) Z ) e. B )
31	30	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( X ( -g ` R ) Z ) e. B )
32	16, 18	grpsubcl 13155	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Grp /\ Z e. ( Base ` R ) /\ Y e. ( Base ` R ) ) -> ( Z ( -g ` R ) Y ) e. ( Base ` R ) )
33	9, 13, 15, 32	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Z ( -g ` R ) Y ) e. ( Base ` R ) )
34	33, 1	eleqtrrd 2273	. . . . 5 |- ( ph -> ( Z ( -g ` R ) Y ) e. B )
35	34	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( Z ( -g ` R ) Y ) e. B )
36	2, 3, 4, 6, 27, 31, 35	lringuplu 13695	. . 3 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( ( X ( -g ` R ) Z ) e. (Unit ` R ) \/ ( Z ( -g ` R ) Y ) e. (Unit ` R ) ) )
37	1, 22, 23, 24, 8, 10, 12	aprval 13781	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X # Z <-> ( X ( -g ` R ) Z ) e. (Unit ` R ) ) )
38	37	biimprd 158	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( X ( -g ` R ) Z ) e. (Unit ` R ) -> X # Z ) )
39	38	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( ( X ( -g ` R ) Z ) e. (Unit ` R ) -> X # Z ) )
40	1, 22, 23, 24, 8, 12, 14	aprval 13781	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Z # Y <-> ( Z ( -g ` R ) Y ) e. (Unit ` R ) ) )
41	1, 22, 8, 12, 14	aprsym 13783	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Z # Y -> Y # Z ) )
42	40, 41	sylbird 170	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Z ( -g ` R ) Y ) e. (Unit ` R ) -> Y # Z ) )
43	42	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( ( Z ( -g ` R ) Y ) e. (Unit ` R ) -> Y # Z ) )
44	39, 43	orim12d 787	. . 3 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( ( ( X ( -g ` R ) Z ) e. (Unit ` R ) \/ ( Z ( -g ` R ) Y ) e. (Unit ` R ) ) -> ( X # Z \/ Y # Z ) ) )
45	36, 44	mpd 13	. 2 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( X # Z \/ Y # Z ) )
46	45	ex 115	1 |- ( ph -> ( X # Y -> ( X # Z \/ Y # Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4030   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Basecbs 12621   +g cplusg 12698   Grpcgrp 13075   -gcsg 13077   Ringcrg 13495  Unitcui 13586  LRingclring 13689  #_rcapr 13779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-tpos 6300  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-iress 12629  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-minusg 13079  df-sbg 13080  df-cmn 13359  df-abl 13360  df-mgp 13420  df-ur 13459  df-srg 13463  df-ring 13497  df-oppr 13567  df-dvdsr 13588  df-unit 13589  df-invr 13620  df-dvr 13631  df-nzr 13679  df-lring 13690  df-apr 13780

This theorem is referenced by:  aprap  13785