Theorem lringuplu 13695

Description: If the sum of two elements of a local ring is invertible, then at least one of the summands must be invertible. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2025.) (Revised by SN, 23-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lring.b	|- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
lring.u	|- ( ph -> U = (Unit ` R ) )
lring.p	|- ( ph -> .+ = ( +g ` R ) )
lring.l	|- ( ph -> R e. LRing )
lring.s	|- ( ph -> ( X .+ Y ) e. U )
lring.x	|- ( ph -> X e. B )
lring.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
lringuplu	|- ( ph -> ( X e. U \/ Y e. U ) )

Proof of Theorem lringuplu

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lring.l	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. LRing )
2		lringring 13693	. . . . . . . 8 |- ( R e. LRing -> R e. Ring )
3	1, 2	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. Ring )
4		lring.x	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. B )
5		lring.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
6	4, 5	eleqtrd 2272	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. ( Base ` R ) )
7		lring.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X .+ Y ) e. U )
8		lring.u	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U = (Unit ` R ) )
9	7, 8	eleqtrd 2272	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X .+ Y ) e. (Unit ` R ) )
10		eqid 2193	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
11		eqid 2193	. . . . . . . 8 |- (Unit ` R ) = (Unit ` R )
12		eqid 2193	. . . . . . . 8 |- (/r ` R ) = (/r ` R )
13		eqid 2193	. . . . . . . 8 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
14	10, 11, 12, 13	dvrcan1 13639	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ X e. ( Base ` R ) /\ ( X .+ Y ) e. (Unit ` R ) ) -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = X )
15	3, 6, 9, 14	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = X )
16	15	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = X )
17	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> R e. Ring )
18		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) )
19	9	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> ( X .+ Y ) e. (Unit ` R ) )
20	11, 13	unitmulcl 13612	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) /\ ( X .+ Y ) e. (Unit ` R ) ) -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) )
21	17, 18, 19, 20	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) )
22	16, 21	eqeltrrd 2271	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> X e. (Unit ` R ) )
23	8	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> U = (Unit ` R ) )
24	22, 23	eleqtrrd 2273	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> X e. U )
25	24	orcd 734	. 2 |- ( ( ph /\ ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> ( X e. U \/ Y e. U ) )
26		lring.y	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. B )
27	26, 5	eleqtrd 2272	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. ( Base ` R ) )
28	10, 11, 12, 13	dvrcan1 13639	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. ( Base ` R ) /\ ( X .+ Y ) e. (Unit ` R ) ) -> ( ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = Y )
29	3, 27, 9, 28	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = Y )
30	29	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> ( ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = Y )
31	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> R e. Ring )
32		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) )
33	9	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> ( X .+ Y ) e. (Unit ` R ) )
34	11, 13	unitmulcl 13612	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) /\ ( X .+ Y ) e. (Unit ` R ) ) -> ( ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) )
35	31, 32, 33, 34	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> ( ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) )
36	30, 35	eqeltrrd 2271	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> Y e. (Unit ` R ) )
37	8	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> U = (Unit ` R ) )
38	36, 37	eleqtrrd 2273	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> Y e. U )
39	38	olcd 735	. 2 |- ( ( ph /\ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> ( X e. U \/ Y e. U ) )
40		eqid 2193	. . . . . 6 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
41	10, 11, 40, 12	dvrdir 13642	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. ( Base ` R ) /\ Y e. ( Base ` R ) /\ ( X .+ Y ) e. (Unit ` R ) ) ) -> ( ( X ( +g ` R ) Y ) (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ) )
42	3, 6, 27, 9, 41	syl13anc 1251	. . . 4 |- ( ph -> ( ( X ( +g ` R ) Y ) (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ) )
43		lring.p	. . . . . . 7 |- ( ph -> .+ = ( +g ` R ) )
44	43	eqcomd 2199	. . . . . 6 |- ( ph -> ( +g ` R ) = .+ )
45	44	oveqd 5936	. . . . 5 |- ( ph -> ( X ( +g ` R ) Y ) = ( X .+ Y ) )
46	3	ringgrpd 13504	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. Grp )
47	10, 40, 46, 6, 27	grpcld 13089	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X ( +g ` R ) Y ) e. ( Base ` R ) )
48		eqid 2193	. . . . . . 7 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
49	10, 11, 12, 48	dvreq1 13641	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( X ( +g ` R ) Y ) e. ( Base ` R ) /\ ( X .+ Y ) e. (Unit ` R ) ) -> ( ( ( X ( +g ` R ) Y ) (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( 1r ` R ) <-> ( X ( +g ` R ) Y ) = ( X .+ Y ) ) )
50	3, 47, 9, 49	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X ( +g ` R ) Y ) (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( 1r ` R ) <-> ( X ( +g ` R ) Y ) = ( X .+ Y ) ) )
51	45, 50	mpbird 167	. . . 4 |- ( ph -> ( ( X ( +g ` R ) Y ) (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( 1r ` R ) )
52	42, 51	eqtr3d 2228	. . 3 |- ( ph -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ) = ( 1r ` R ) )
53		oveq2 5927	. . . . . 6 |- ( v = ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) v ) = ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ) )
54	53	eqeq1d 2202	. . . . 5 |- ( v = ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) -> ( ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) v ) = ( 1r ` R ) <-> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ) = ( 1r ` R ) ) )
55		eleq1 2256	. . . . . 6 |- ( v = ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) -> ( v e. (Unit ` R ) <-> ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) )
56	55	orbi2d 791	. . . . 5 |- ( v = ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) -> ( ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) \/ v e. (Unit ` R ) ) <-> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) \/ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) ) )
57	54, 56	imbi12d 234	. . . 4 |- ( v = ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) -> ( ( ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) v ) = ( 1r ` R ) -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) \/ v e. (Unit ` R ) ) ) <-> ( ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ) = ( 1r ` R ) -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) \/ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) ) ) )
58		oveq1 5926	. . . . . . . 8 |- ( u = ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) -> ( u ( +g ` R ) v ) = ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) v ) )
59	58	eqeq1d 2202	. . . . . . 7 |- ( u = ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) -> ( ( u ( +g ` R ) v ) = ( 1r ` R ) <-> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) v ) = ( 1r ` R ) ) )
60		eleq1 2256	. . . . . . . 8 |- ( u = ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) -> ( u e. (Unit ` R ) <-> ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) )
61	60	orbi1d 792	. . . . . . 7 |- ( u = ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) -> ( ( u e. (Unit ` R ) \/ v e. (Unit ` R ) ) <-> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) \/ v e. (Unit ` R ) ) ) )
62	59, 61	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( u = ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) -> ( ( ( u ( +g ` R ) v ) = ( 1r ` R ) -> ( u e. (Unit ` R ) \/ v e. (Unit ` R ) ) ) <-> ( ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) v ) = ( 1r ` R ) -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) \/ v e. (Unit ` R ) ) ) ) )
63	62	ralbidv 2494	. . . . 5 |- ( u = ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) -> ( A. v e. ( Base ` R ) ( ( u ( +g ` R ) v ) = ( 1r ` R ) -> ( u e. (Unit ` R ) \/ v e. (Unit ` R ) ) ) <-> A. v e. ( Base ` R ) ( ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) v ) = ( 1r ` R ) -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) \/ v e. (Unit ` R ) ) ) ) )
64	10, 40, 48, 11	islring 13691	. . . . . . 7 |- ( R e. LRing <-> ( R e. NzRing /\ A. u e. ( Base ` R ) A. v e. ( Base ` R ) ( ( u ( +g ` R ) v ) = ( 1r ` R ) -> ( u e. (Unit ` R ) \/ v e. (Unit ` R ) ) ) ) )
65	1, 64	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> ( R e. NzRing /\ A. u e. ( Base ` R ) A. v e. ( Base ` R ) ( ( u ( +g ` R ) v ) = ( 1r ` R ) -> ( u e. (Unit ` R ) \/ v e. (Unit ` R ) ) ) ) )
66	65	simprd 114	. . . . 5 |- ( ph -> A. u e. ( Base ` R ) A. v e. ( Base ` R ) ( ( u ( +g ` R ) v ) = ( 1r ` R ) -> ( u e. (Unit ` R ) \/ v e. (Unit ` R ) ) ) )
67	10, 11, 12	dvrcl 13634	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ X e. ( Base ` R ) /\ ( X .+ Y ) e. (Unit ` R ) ) -> ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. ( Base ` R ) )
68	3, 6, 9, 67	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ph -> ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. ( Base ` R ) )
69	63, 66, 68	rspcdva 2870	. . . 4 |- ( ph -> A. v e. ( Base ` R ) ( ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) v ) = ( 1r ` R ) -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) \/ v e. (Unit ` R ) ) ) )
70	10, 11, 12	dvrcl 13634	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. ( Base ` R ) /\ ( X .+ Y ) e. (Unit ` R ) ) -> ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. ( Base ` R ) )
71	3, 27, 9, 70	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ph -> ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. ( Base ` R ) )
72	57, 69, 71	rspcdva 2870	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ) = ( 1r ` R ) -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) \/ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) ) )
73	52, 72	mpd 13	. 2 |- ( ph -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) \/ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) )
74	25, 39, 73	mpjaodan 799	1 |- ( ph -> ( X e. U \/ Y e. U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Basecbs 12621   +g cplusg 12698   .rcmulr 12699   1rcur 13458   Ringcrg 13495  Unitcui 13586  /_rcdvr 13630  NzRingcnzr 13678  LRingclring 13689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-tpos 6300  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-iress 12629  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-minusg 13079  df-cmn 13359  df-abl 13360  df-mgp 13420  df-ur 13459  df-srg 13463  df-ring 13497  df-oppr 13567  df-dvdsr 13588  df-unit 13589  df-invr 13620  df-dvr 13631  df-nzr 13679  df-lring 13690

This theorem is referenced by:  aprcotr  13784