Theorem lringuplu 14209

Description: If the sum of two elements of a local ring is invertible, then at least one of the summands must be invertible. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2025.) (Revised by SN, 23-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lring.b	|- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
lring.u	|- ( ph -> U = (Unit ` R ) )
lring.p	|- ( ph -> .+ = ( +g ` R ) )
lring.l	|- ( ph -> R e. LRing )
lring.s	|- ( ph -> ( X .+ Y ) e. U )
lring.x	|- ( ph -> X e. B )
lring.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
lringuplu	|- ( ph -> ( X e. U \/ Y e. U ) )

Proof of Theorem lringuplu

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lring.l	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. LRing )
2		lringring 14207	. . . . . . . 8 |- ( R e. LRing -> R e. Ring )
3	1, 2	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. Ring )
4		lring.x	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. B )
5		lring.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
6	4, 5	eleqtrd 2310	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. ( Base ` R ) )
7		lring.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X .+ Y ) e. U )
8		lring.u	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U = (Unit ` R ) )
9	7, 8	eleqtrd 2310	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X .+ Y ) e. (Unit ` R ) )
10		eqid 2231	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
11		eqid 2231	. . . . . . . 8 |- (Unit ` R ) = (Unit ` R )
12		eqid 2231	. . . . . . . 8 |- (/r ` R ) = (/r ` R )
13		eqid 2231	. . . . . . . 8 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
14	10, 11, 12, 13	dvrcan1 14153	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ X e. ( Base ` R ) /\ ( X .+ Y ) e. (Unit ` R ) ) -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = X )
15	3, 6, 9, 14	syl3anc 1273	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = X )
16	15	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = X )
17	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> R e. Ring )
18		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) )
19	9	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> ( X .+ Y ) e. (Unit ` R ) )
20	11, 13	unitmulcl 14126	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) /\ ( X .+ Y ) e. (Unit ` R ) ) -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) )
21	17, 18, 19, 20	syl3anc 1273	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) )
22	16, 21	eqeltrrd 2309	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> X e. (Unit ` R ) )
23	8	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> U = (Unit ` R ) )
24	22, 23	eleqtrrd 2311	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> X e. U )
25	24	orcd 740	. 2 |- ( ( ph /\ ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> ( X e. U \/ Y e. U ) )
26		lring.y	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. B )
27	26, 5	eleqtrd 2310	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. ( Base ` R ) )
28	10, 11, 12, 13	dvrcan1 14153	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. ( Base ` R ) /\ ( X .+ Y ) e. (Unit ` R ) ) -> ( ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = Y )
29	3, 27, 9, 28	syl3anc 1273	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = Y )
30	29	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> ( ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = Y )
31	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> R e. Ring )
32		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) )
33	9	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> ( X .+ Y ) e. (Unit ` R ) )
34	11, 13	unitmulcl 14126	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) /\ ( X .+ Y ) e. (Unit ` R ) ) -> ( ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) )
35	31, 32, 33, 34	syl3anc 1273	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> ( ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) )
36	30, 35	eqeltrrd 2309	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> Y e. (Unit ` R ) )
37	8	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> U = (Unit ` R ) )
38	36, 37	eleqtrrd 2311	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> Y e. U )
39	38	olcd 741	. 2 |- ( ( ph /\ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> ( X e. U \/ Y e. U ) )
40		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
41	10, 11, 40, 12	dvrdir 14156	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. ( Base ` R ) /\ Y e. ( Base ` R ) /\ ( X .+ Y ) e. (Unit ` R ) ) ) -> ( ( X ( +g ` R ) Y ) (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ) )
42	3, 6, 27, 9, 41	syl13anc 1275	. . . 4 |- ( ph -> ( ( X ( +g ` R ) Y ) (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ) )
43		lring.p	. . . . . . 7 |- ( ph -> .+ = ( +g ` R ) )
44	43	eqcomd 2237	. . . . . 6 |- ( ph -> ( +g ` R ) = .+ )
45	44	oveqd 6034	. . . . 5 |- ( ph -> ( X ( +g ` R ) Y ) = ( X .+ Y ) )
46	3	ringgrpd 14017	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. Grp )
47	10, 40, 46, 6, 27	grpcld 13596	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X ( +g ` R ) Y ) e. ( Base ` R ) )
48		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
49	10, 11, 12, 48	dvreq1 14155	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( X ( +g ` R ) Y ) e. ( Base ` R ) /\ ( X .+ Y ) e. (Unit ` R ) ) -> ( ( ( X ( +g ` R ) Y ) (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( 1r ` R ) <-> ( X ( +g ` R ) Y ) = ( X .+ Y ) ) )
50	3, 47, 9, 49	syl3anc 1273	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X ( +g ` R ) Y ) (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( 1r ` R ) <-> ( X ( +g ` R ) Y ) = ( X .+ Y ) ) )
51	45, 50	mpbird 167	. . . 4 |- ( ph -> ( ( X ( +g ` R ) Y ) (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( 1r ` R ) )
52	42, 51	eqtr3d 2266	. . 3 |- ( ph -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ) = ( 1r ` R ) )
53		oveq2 6025	. . . . . 6 |- ( v = ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) v ) = ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ) )
54	53	eqeq1d 2240	. . . . 5 |- ( v = ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) -> ( ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) v ) = ( 1r ` R ) <-> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ) = ( 1r ` R ) ) )
55		eleq1 2294	. . . . . 6 |- ( v = ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) -> ( v e. (Unit ` R ) <-> ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) )
56	55	orbi2d 797	. . . . 5 |- ( v = ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) -> ( ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) \/ v e. (Unit ` R ) ) <-> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) \/ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) ) )
57	54, 56	imbi12d 234	. . . 4 |- ( v = ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) -> ( ( ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) v ) = ( 1r ` R ) -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) \/ v e. (Unit ` R ) ) ) <-> ( ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ) = ( 1r ` R ) -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) \/ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) ) ) )
58		oveq1 6024	. . . . . . . 8 |- ( u = ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) -> ( u ( +g ` R ) v ) = ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) v ) )
59	58	eqeq1d 2240	. . . . . . 7 |- ( u = ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) -> ( ( u ( +g ` R ) v ) = ( 1r ` R ) <-> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) v ) = ( 1r ` R ) ) )
60		eleq1 2294	. . . . . . . 8 |- ( u = ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) -> ( u e. (Unit ` R ) <-> ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) )
61	60	orbi1d 798	. . . . . . 7 |- ( u = ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) -> ( ( u e. (Unit ` R ) \/ v e. (Unit ` R ) ) <-> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) \/ v e. (Unit ` R ) ) ) )
62	59, 61	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( u = ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) -> ( ( ( u ( +g ` R ) v ) = ( 1r ` R ) -> ( u e. (Unit ` R ) \/ v e. (Unit ` R ) ) ) <-> ( ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) v ) = ( 1r ` R ) -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) \/ v e. (Unit ` R ) ) ) ) )
63	62	ralbidv 2532	. . . . 5 |- ( u = ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) -> ( A. v e. ( Base ` R ) ( ( u ( +g ` R ) v ) = ( 1r ` R ) -> ( u e. (Unit ` R ) \/ v e. (Unit ` R ) ) ) <-> A. v e. ( Base ` R ) ( ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) v ) = ( 1r ` R ) -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) \/ v e. (Unit ` R ) ) ) ) )
64	10, 40, 48, 11	islring 14205	. . . . . . 7 |- ( R e. LRing <-> ( R e. NzRing /\ A. u e. ( Base ` R ) A. v e. ( Base ` R ) ( ( u ( +g ` R ) v ) = ( 1r ` R ) -> ( u e. (Unit ` R ) \/ v e. (Unit ` R ) ) ) ) )
65	1, 64	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> ( R e. NzRing /\ A. u e. ( Base ` R ) A. v e. ( Base ` R ) ( ( u ( +g ` R ) v ) = ( 1r ` R ) -> ( u e. (Unit ` R ) \/ v e. (Unit ` R ) ) ) ) )
66	65	simprd 114	. . . . 5 |- ( ph -> A. u e. ( Base ` R ) A. v e. ( Base ` R ) ( ( u ( +g ` R ) v ) = ( 1r ` R ) -> ( u e. (Unit ` R ) \/ v e. (Unit ` R ) ) ) )
67	10, 11, 12	dvrcl 14148	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ X e. ( Base ` R ) /\ ( X .+ Y ) e. (Unit ` R ) ) -> ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. ( Base ` R ) )
68	3, 6, 9, 67	syl3anc 1273	. . . . 5 |- ( ph -> ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. ( Base ` R ) )
69	63, 66, 68	rspcdva 2915	. . . 4 |- ( ph -> A. v e. ( Base ` R ) ( ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) v ) = ( 1r ` R ) -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) \/ v e. (Unit ` R ) ) ) )
70	10, 11, 12	dvrcl 14148	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. ( Base ` R ) /\ ( X .+ Y ) e. (Unit ` R ) ) -> ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. ( Base ` R ) )
71	3, 27, 9, 70	syl3anc 1273	. . . 4 |- ( ph -> ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. ( Base ` R ) )
72	57, 69, 71	rspcdva 2915	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ) = ( 1r ` R ) -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) \/ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) ) )
73	52, 72	mpd 13	. 2 |- ( ph -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) \/ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) )
74	25, 39, 73	mpjaodan 805	1 |- ( ph -> ( X e. U \/ Y e. U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   +g cplusg 13159   .rcmulr 13160   1rcur 13971   Ringcrg 14008  Unitcui 14099  /_rcdvr 14144  NzRingcnzr 14192  LRingclring 14203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-tpos 6410  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-iress 13089  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-grp 13585  df-minusg 13586  df-cmn 13872  df-abl 13873  df-mgp 13933  df-ur 13972  df-srg 13976  df-ring 14010  df-oppr 14080  df-dvdsr 14101  df-unit 14102  df-invr 14134  df-dvr 14145  df-nzr 14193  df-lring 14204

This theorem is referenced by:  aprcotr  14298