Theorem lringuplu 13416

Description: If the sum of two elements of a local ring is invertible, then at least one of the summands must be invertible. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2025.) (Revised by SN, 23-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lring.b	|- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
lring.u	|- ( ph -> U = (Unit ` R ) )
lring.p	|- ( ph -> .+ = ( +g ` R ) )
lring.l	|- ( ph -> R e. LRing )
lring.s	|- ( ph -> ( X .+ Y ) e. U )
lring.x	|- ( ph -> X e. B )
lring.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
lringuplu	|- ( ph -> ( X e. U \/ Y e. U ) )

Proof of Theorem lringuplu

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lring.l	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. LRing )
2		lringring 13414	. . . . . . . 8 |- ( R e. LRing -> R e. Ring )
3	1, 2	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. Ring )
4		lring.x	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. B )
5		lring.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
6	4, 5	eleqtrd 2266	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. ( Base ` R ) )
7		lring.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X .+ Y ) e. U )
8		lring.u	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U = (Unit ` R ) )
9	7, 8	eleqtrd 2266	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X .+ Y ) e. (Unit ` R ) )
10		eqid 2187	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
11		eqid 2187	. . . . . . . 8 |- (Unit ` R ) = (Unit ` R )
12		eqid 2187	. . . . . . . 8 |- (/r ` R ) = (/r ` R )
13		eqid 2187	. . . . . . . 8 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
14	10, 11, 12, 13	dvrcan1 13388	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ X e. ( Base ` R ) /\ ( X .+ Y ) e. (Unit ` R ) ) -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = X )
15	3, 6, 9, 14	syl3anc 1248	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = X )
16	15	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = X )
17	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> R e. Ring )
18		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) )
19	9	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> ( X .+ Y ) e. (Unit ` R ) )
20	11, 13	unitmulcl 13361	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) /\ ( X .+ Y ) e. (Unit ` R ) ) -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) )
21	17, 18, 19, 20	syl3anc 1248	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) )
22	16, 21	eqeltrrd 2265	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> X e. (Unit ` R ) )
23	8	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> U = (Unit ` R ) )
24	22, 23	eleqtrrd 2267	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> X e. U )
25	24	orcd 734	. 2 |- ( ( ph /\ ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> ( X e. U \/ Y e. U ) )
26		lring.y	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. B )
27	26, 5	eleqtrd 2266	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. ( Base ` R ) )
28	10, 11, 12, 13	dvrcan1 13388	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. ( Base ` R ) /\ ( X .+ Y ) e. (Unit ` R ) ) -> ( ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = Y )
29	3, 27, 9, 28	syl3anc 1248	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = Y )
30	29	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> ( ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = Y )
31	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> R e. Ring )
32		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) )
33	9	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> ( X .+ Y ) e. (Unit ` R ) )
34	11, 13	unitmulcl 13361	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) /\ ( X .+ Y ) e. (Unit ` R ) ) -> ( ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) )
35	31, 32, 33, 34	syl3anc 1248	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> ( ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) )
36	30, 35	eqeltrrd 2265	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> Y e. (Unit ` R ) )
37	8	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> U = (Unit ` R ) )
38	36, 37	eleqtrrd 2267	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> Y e. U )
39	38	olcd 735	. 2 |- ( ( ph /\ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) -> ( X e. U \/ Y e. U ) )
40		eqid 2187	. . . . . 6 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
41	10, 11, 40, 12	dvrdir 13391	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. ( Base ` R ) /\ Y e. ( Base ` R ) /\ ( X .+ Y ) e. (Unit ` R ) ) ) -> ( ( X ( +g ` R ) Y ) (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ) )
42	3, 6, 27, 9, 41	syl13anc 1250	. . . 4 |- ( ph -> ( ( X ( +g ` R ) Y ) (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ) )
43		lring.p	. . . . . . 7 |- ( ph -> .+ = ( +g ` R ) )
44	43	eqcomd 2193	. . . . . 6 |- ( ph -> ( +g ` R ) = .+ )
45	44	oveqd 5905	. . . . 5 |- ( ph -> ( X ( +g ` R ) Y ) = ( X .+ Y ) )
46	3	ringgrpd 13257	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. Grp )
47	10, 40, 46, 6, 27	grpcld 12912	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X ( +g ` R ) Y ) e. ( Base ` R ) )
48		eqid 2187	. . . . . . 7 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
49	10, 11, 12, 48	dvreq1 13390	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( X ( +g ` R ) Y ) e. ( Base ` R ) /\ ( X .+ Y ) e. (Unit ` R ) ) -> ( ( ( X ( +g ` R ) Y ) (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( 1r ` R ) <-> ( X ( +g ` R ) Y ) = ( X .+ Y ) ) )
50	3, 47, 9, 49	syl3anc 1248	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X ( +g ` R ) Y ) (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( 1r ` R ) <-> ( X ( +g ` R ) Y ) = ( X .+ Y ) ) )
51	45, 50	mpbird 167	. . . 4 |- ( ph -> ( ( X ( +g ` R ) Y ) (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( 1r ` R ) )
52	42, 51	eqtr3d 2222	. . 3 |- ( ph -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ) = ( 1r ` R ) )
53		oveq2 5896	. . . . . 6 |- ( v = ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) v ) = ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ) )
54	53	eqeq1d 2196	. . . . 5 |- ( v = ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) -> ( ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) v ) = ( 1r ` R ) <-> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ) = ( 1r ` R ) ) )
55		eleq1 2250	. . . . . 6 |- ( v = ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) -> ( v e. (Unit ` R ) <-> ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) )
56	55	orbi2d 791	. . . . 5 |- ( v = ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) -> ( ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) \/ v e. (Unit ` R ) ) <-> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) \/ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) ) )
57	54, 56	imbi12d 234	. . . 4 |- ( v = ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) -> ( ( ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) v ) = ( 1r ` R ) -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) \/ v e. (Unit ` R ) ) ) <-> ( ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ) = ( 1r ` R ) -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) \/ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) ) ) )
58		oveq1 5895	. . . . . . . 8 |- ( u = ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) -> ( u ( +g ` R ) v ) = ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) v ) )
59	58	eqeq1d 2196	. . . . . . 7 |- ( u = ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) -> ( ( u ( +g ` R ) v ) = ( 1r ` R ) <-> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) v ) = ( 1r ` R ) ) )
60		eleq1 2250	. . . . . . . 8 |- ( u = ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) -> ( u e. (Unit ` R ) <-> ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) )
61	60	orbi1d 792	. . . . . . 7 |- ( u = ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) -> ( ( u e. (Unit ` R ) \/ v e. (Unit ` R ) ) <-> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) \/ v e. (Unit ` R ) ) ) )
62	59, 61	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( u = ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) -> ( ( ( u ( +g ` R ) v ) = ( 1r ` R ) -> ( u e. (Unit ` R ) \/ v e. (Unit ` R ) ) ) <-> ( ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) v ) = ( 1r ` R ) -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) \/ v e. (Unit ` R ) ) ) ) )
63	62	ralbidv 2487	. . . . 5 |- ( u = ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) -> ( A. v e. ( Base ` R ) ( ( u ( +g ` R ) v ) = ( 1r ` R ) -> ( u e. (Unit ` R ) \/ v e. (Unit ` R ) ) ) <-> A. v e. ( Base ` R ) ( ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) v ) = ( 1r ` R ) -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) \/ v e. (Unit ` R ) ) ) ) )
64	10, 40, 48, 11	islring 13412	. . . . . . 7 |- ( R e. LRing <-> ( R e. NzRing /\ A. u e. ( Base ` R ) A. v e. ( Base ` R ) ( ( u ( +g ` R ) v ) = ( 1r ` R ) -> ( u e. (Unit ` R ) \/ v e. (Unit ` R ) ) ) ) )
65	1, 64	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> ( R e. NzRing /\ A. u e. ( Base ` R ) A. v e. ( Base ` R ) ( ( u ( +g ` R ) v ) = ( 1r ` R ) -> ( u e. (Unit ` R ) \/ v e. (Unit ` R ) ) ) ) )
66	65	simprd 114	. . . . 5 |- ( ph -> A. u e. ( Base ` R ) A. v e. ( Base ` R ) ( ( u ( +g ` R ) v ) = ( 1r ` R ) -> ( u e. (Unit ` R ) \/ v e. (Unit ` R ) ) ) )
67	10, 11, 12	dvrcl 13383	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ X e. ( Base ` R ) /\ ( X .+ Y ) e. (Unit ` R ) ) -> ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. ( Base ` R ) )
68	3, 6, 9, 67	syl3anc 1248	. . . . 5 |- ( ph -> ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. ( Base ` R ) )
69	63, 66, 68	rspcdva 2858	. . . 4 |- ( ph -> A. v e. ( Base ` R ) ( ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) v ) = ( 1r ` R ) -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) \/ v e. (Unit ` R ) ) ) )
70	10, 11, 12	dvrcl 13383	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. ( Base ` R ) /\ ( X .+ Y ) e. (Unit ` R ) ) -> ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. ( Base ` R ) )
71	3, 27, 9, 70	syl3anc 1248	. . . 4 |- ( ph -> ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. ( Base ` R ) )
72	57, 69, 71	rspcdva 2858	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ( +g ` R ) ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) ) = ( 1r ` R ) -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) \/ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) ) )
73	52, 72	mpd 13	. 2 |- ( ph -> ( ( X (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) \/ ( Y (/r ` R ) ( X .+ Y ) ) e. (Unit ` R ) ) )
74	25, 39, 73	mpjaodan 799	1 |- ( ph -> ( X e. U \/ Y e. U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1363   e. wcel 2158   A.wral 2465   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   Basecbs 12476   +g cplusg 12551   .rcmulr 12552   1rcur 13211   Ringcrg 13248  Unitcui 13335  /_rcdvr 13379  NzRingcnzr 13402  LRingclring 13410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-ltadd 7941

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-tpos 6260  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-ltxr 8011  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-ndx 12479  df-slot 12480  df-base 12482  df-sets 12483  df-iress 12484  df-plusg 12564  df-mulr 12565  df-0g 12725  df-mgm 12794  df-sgrp 12827  df-mnd 12840  df-grp 12902  df-minusg 12903  df-cmn 13123  df-abl 13124  df-mgp 13173  df-ur 13212  df-srg 13216  df-ring 13250  df-oppr 13316  df-dvdsr 13337  df-unit 13338  df-invr 13369  df-dvr 13380  df-nzr 13403  df-lring 13411

This theorem is referenced by:  aprcotr  13474