Theorem lringnz 13727

Description: A local ring is a nonzero ring. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2025.) (Revised by SN, 23-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lringnz.1	|- .1. = ( 1r ` R )
lringnz.2	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
lringnz	|- ( R e. LRing -> .1. =/= .0. )

Proof of Theorem lringnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lringnzr 13725	. 2 |- ( R e. LRing -> R e. NzRing )
2		lringnz.1	. . 3 |- .1. = ( 1r ` R )
3		lringnz.2	. . 3 |- .0. = ( 0g ` R )
4	2, 3	nzrnz 13714	. 2 |- ( R e. NzRing -> .1. =/= .0. )
5	1, 4	syl 14	1 |- ( R e. LRing -> .1. =/= .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   ` cfv 5258   0gc0g 12903   1rcur 13491  NzRingcnzr 13711  LRingclring 13722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-iota 5219  df-fv 5266  df-nzr 13712  df-lring 13723

This theorem is referenced by:  aprap  13818