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Theorem nfexd 1691
Description: If  x is not free in  ph, it is not free in  E. y ph. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Sep-2016.) (Proof rewritten by Jim Kingdon, 7-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
nfald.1  |-  F/ y
ph
nfald.2  |-  ( ph  ->  F/ x ps )
Assertion
Ref Expression
nfexd  |-  ( ph  ->  F/ x E. y ps )

Proof of Theorem nfexd
StepHypRef Expression
1 nfald.1 . . . . . . 7  |-  F/ y
ph
21nfri 1457 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y ph )
3 nfald.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F/ x ps )
4 df-nf 1395 . . . . . . 7  |-  ( F/ x ps  <->  A. x
( ps  ->  A. x ps ) )
53, 4sylib 120 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x ( ps 
->  A. x ps )
)
62, 5alrimih 1403 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y A. x
( ps  ->  A. x ps ) )
7 alcom 1412 . . . . 5  |-  ( A. y A. x ( ps 
->  A. x ps )  <->  A. x A. y ( ps  ->  A. x ps ) )
86, 7sylib 120 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x A. y
( ps  ->  A. x ps ) )
9 exim 1535 . . . . 5  |-  ( A. y ( ps  ->  A. x ps )  -> 
( E. y ps 
->  E. y A. x ps ) )
109alimi 1389 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( ps 
->  A. x ps )  ->  A. x ( E. y ps  ->  E. y A. x ps ) )
118, 10syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x ( E. y ps  ->  E. y A. x ps ) )
12 19.12 1600 . . . . 5  |-  ( E. y A. x ps 
->  A. x E. y ps )
1312imim2i 12 . . . 4  |-  ( ( E. y ps  ->  E. y A. x ps )  ->  ( E. y ps  ->  A. x E. y ps ) )
1413alimi 1389 . . 3  |-  ( A. x ( E. y ps  ->  E. y A. x ps )  ->  A. x
( E. y ps 
->  A. x E. y ps ) )
1511, 14syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  A. x ( E. y ps  ->  A. x E. y ps ) )
16 df-nf 1395 . 2  |-  ( F/ x E. y ps  <->  A. x ( E. y ps  ->  A. x E. y ps ) )
1715, 16sylibr 132 1  |-  ( ph  ->  F/ x E. y ps )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4   A.wal 1287   F/wnf 1394   E.wex 1426
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-4 1445  ax-ial 1472
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1395
This theorem is referenced by:  nfsbxy  1866  nfsbxyt  1867  nfeudv  1963  nfmod  1965  nfeld  2244  nfrexdxy  2411
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