Theorem nfexd 1775

Description: If x is not free in ph, it is not free in E. y ph. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Sep-2016.) (Proof rewritten by Jim Kingdon, 7-Feb-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfald.1	|- F/ y ph
nfald.2	|- ( ph -> F/ x ps )

Assertion

Ref	Expression
nfexd	|- ( ph -> F/ x E. y ps )

Proof of Theorem nfexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfald.1	. . . . . . 7 |- F/ y ph
2	1	nfri 1533	. . . . . 6 |- ( ph -> A. y ph )
3		nfald.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> F/ x ps )
4		df-nf 1475	. . . . . . 7 |- ( F/ x ps <-> A. x ( ps -> A. x ps ) )
5	3, 4	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x ( ps -> A. x ps ) )
6	2, 5	alrimih 1483	. . . . 5 |- ( ph -> A. y A. x ( ps -> A. x ps ) )
7		alcom 1492	. . . . 5 |- ( A. y A. x ( ps -> A. x ps ) <-> A. x A. y ( ps -> A. x ps ) )
8	6, 7	sylib 122	. . . 4 |- ( ph -> A. x A. y ( ps -> A. x ps ) )
9		exim 1613	. . . . 5 |- ( A. y ( ps -> A. x ps ) -> ( E. y ps -> E. y A. x ps ) )
10	9	alimi 1469	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ps -> A. x ps ) -> A. x ( E. y ps -> E. y A. x ps ) )
11	8, 10	syl 14	. . 3 |- ( ph -> A. x ( E. y ps -> E. y A. x ps ) )
12		19.12 1679	. . . . 5 |- ( E. y A. x ps -> A. x E. y ps )
13	12	imim2i 12	. . . 4 |- ( ( E. y ps -> E. y A. x ps ) -> ( E. y ps -> A. x E. y ps ) )
14	13	alimi 1469	. . 3 |- ( A. x ( E. y ps -> E. y A. x ps ) -> A. x ( E. y ps -> A. x E. y ps ) )
15	11, 14	syl 14	. 2 |- ( ph -> A. x ( E. y ps -> A. x E. y ps ) )
16		df-nf 1475	. 2 |- ( F/ x E. y ps <-> A. x ( E. y ps -> A. x E. y ps ) )
17	15, 16	sylibr 134	1 |- ( ph -> F/ x E. y ps )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1362   F/wnf 1474   E.wex 1506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-4 1524  ax-ial 1548

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475

This theorem is referenced by:  nfsbxy  1961  nfsbxyt  1962  nfeudv  2060  nfmod  2062  nfeld  2355  nfrexdxy  2531