Theorem nfexd 1749

Description: If x is not free in ph, it is not free in E. y ph. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Sep-2016.) (Proof rewritten by Jim Kingdon, 7-Feb-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfald.1	|- F/ y ph
nfald.2	|- ( ph -> F/ x ps )

Assertion

Ref	Expression
nfexd	|- ( ph -> F/ x E. y ps )

Proof of Theorem nfexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfald.1	. . . . . . 7 |- F/ y ph
2	1	nfri 1507	. . . . . 6 |- ( ph -> A. y ph )
3		nfald.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> F/ x ps )
4		df-nf 1449	. . . . . . 7 |- ( F/ x ps <-> A. x ( ps -> A. x ps ) )
5	3, 4	sylib 121	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x ( ps -> A. x ps ) )
6	2, 5	alrimih 1457	. . . . 5 |- ( ph -> A. y A. x ( ps -> A. x ps ) )
7		alcom 1466	. . . . 5 |- ( A. y A. x ( ps -> A. x ps ) <-> A. x A. y ( ps -> A. x ps ) )
8	6, 7	sylib 121	. . . 4 |- ( ph -> A. x A. y ( ps -> A. x ps ) )
9		exim 1587	. . . . 5 |- ( A. y ( ps -> A. x ps ) -> ( E. y ps -> E. y A. x ps ) )
10	9	alimi 1443	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ps -> A. x ps ) -> A. x ( E. y ps -> E. y A. x ps ) )
11	8, 10	syl 14	. . 3 |- ( ph -> A. x ( E. y ps -> E. y A. x ps ) )
12		19.12 1653	. . . . 5 |- ( E. y A. x ps -> A. x E. y ps )
13	12	imim2i 12	. . . 4 |- ( ( E. y ps -> E. y A. x ps ) -> ( E. y ps -> A. x E. y ps ) )
14	13	alimi 1443	. . 3 |- ( A. x ( E. y ps -> E. y A. x ps ) -> A. x ( E. y ps -> A. x E. y ps ) )
15	11, 14	syl 14	. 2 |- ( ph -> A. x ( E. y ps -> A. x E. y ps ) )
16		df-nf 1449	. 2 |- ( F/ x E. y ps <-> A. x ( E. y ps -> A. x E. y ps ) )
17	15, 16	sylibr 133	1 |- ( ph -> F/ x E. y ps )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1341   F/wnf 1448   E.wex 1480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-4 1498  ax-ial 1522

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1449

This theorem is referenced by:  nfsbxy  1930  nfsbxyt  1931  nfeudv  2029  nfmod  2031  nfeld  2324  nfrexdxy  2500