Theorem nfexd 1734

Description: If x is not free in ph, it is not free in E. y ph. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Sep-2016.) (Proof rewritten by Jim Kingdon, 7-Feb-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfald.1	|- F/ y ph
nfald.2	|- ( ph -> F/ x ps )

Assertion

Ref	Expression
nfexd	|- ( ph -> F/ x E. y ps )

Proof of Theorem nfexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfald.1	. . . . . . 7 |- F/ y ph
2	1	nfri 1499	. . . . . 6 |- ( ph -> A. y ph )
3		nfald.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> F/ x ps )
4		df-nf 1437	. . . . . . 7 |- ( F/ x ps <-> A. x ( ps -> A. x ps ) )
5	3, 4	sylib 121	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x ( ps -> A. x ps ) )
6	2, 5	alrimih 1445	. . . . 5 |- ( ph -> A. y A. x ( ps -> A. x ps ) )
7		alcom 1454	. . . . 5 |- ( A. y A. x ( ps -> A. x ps ) <-> A. x A. y ( ps -> A. x ps ) )
8	6, 7	sylib 121	. . . 4 |- ( ph -> A. x A. y ( ps -> A. x ps ) )
9		exim 1578	. . . . 5 |- ( A. y ( ps -> A. x ps ) -> ( E. y ps -> E. y A. x ps ) )
10	9	alimi 1431	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ps -> A. x ps ) -> A. x ( E. y ps -> E. y A. x ps ) )
11	8, 10	syl 14	. . 3 |- ( ph -> A. x ( E. y ps -> E. y A. x ps ) )
12		19.12 1643	. . . . 5 |- ( E. y A. x ps -> A. x E. y ps )
13	12	imim2i 12	. . . 4 |- ( ( E. y ps -> E. y A. x ps ) -> ( E. y ps -> A. x E. y ps ) )
14	13	alimi 1431	. . 3 |- ( A. x ( E. y ps -> E. y A. x ps ) -> A. x ( E. y ps -> A. x E. y ps ) )
15	11, 14	syl 14	. 2 |- ( ph -> A. x ( E. y ps -> A. x E. y ps ) )
16		df-nf 1437	. 2 |- ( F/ x E. y ps <-> A. x ( E. y ps -> A. x E. y ps ) )
17	15, 16	sylibr 133	1 |- ( ph -> F/ x E. y ps )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1329   F/wnf 1436   E.wex 1468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-4 1487  ax-ial 1514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1437

This theorem is referenced by:  nfsbxy  1913  nfsbxyt  1914  nfeudv  2012  nfmod  2014  nfeld  2295  nfrexdxy  2466