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Theorem nfsbxyt 1917
Description: Closed form of nfsbxy 1916. (Contributed by Jim Kingdon, 9-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
nfsbxyt  |-  ( A. x F/ z ph  ->  F/ z [ y  /  x ] ph )
Distinct variable groups:    x, y    y,
z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem nfsbxyt
StepHypRef Expression
1 ax-bndl 1487 . 2  |-  ( A. z  z  =  x  \/  ( A. z  z  =  y  \/  A. x A. z ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
) )
2 nfs1v 1913 . . . . 5  |-  F/ z [ y  /  z ] ph
3 drsb1 1772 . . . . . 6  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( [ y  / 
z ] ph  <->  [ y  /  x ] ph )
)
43drnf2 1713 . . . . 5  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( F/ z [ y  /  z ]
ph 
<->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
52, 4mpbii 147 . . . 4  |-  ( A. z  z  =  x  ->  F/ z [ y  /  x ] ph )
65a1d 22 . . 3  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. x F/ z ph  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
7 a16nf 1839 . . . . 5  |-  ( A. z  z  =  y  ->  F/ z [ y  /  x ] ph )
87a1d 22 . . . 4  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( A. x F/ z ph  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
9 df-nf 1438 . . . . . 6  |-  ( F/ z  x  =  y  <->  A. z ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
109albii 1447 . . . . 5  |-  ( A. x F/ z  x  =  y  <->  A. x A. z
( x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) )
11 sb5 1860 . . . . . . 7  |-  ( [ y  /  x ] ph 
<->  E. x ( x  =  y  /\  ph ) )
12 nfa1 1522 . . . . . . . . 9  |-  F/ x A. x F/ z  x  =  y
13 nfa1 1522 . . . . . . . . 9  |-  F/ x A. x F/ z ph
1412, 13nfan 1545 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( A. x F/ z  x  =  y  /\  A. x F/ z ph )
15 sp 1489 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x F/ z  x  =  y  ->  F/ z  x  =  y )
1615adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x F/ z  x  =  y  /\  A. x F/ z ph )  ->  F/ z  x  =  y )
17 sp 1489 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x F/ z ph  ->  F/ z ph )
1817adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x F/ z  x  =  y  /\  A. x F/ z ph )  ->  F/ z ph )
1916, 18nfand 1548 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x F/ z  x  =  y  /\  A. x F/ z ph )  ->  F/ z ( x  =  y  /\  ph ) )
2014, 19nfexd 1735 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x F/ z  x  =  y  /\  A. x F/ z ph )  ->  F/ z E. x ( x  =  y  /\  ph )
)
2111, 20nfxfrd 1452 . . . . . 6  |-  ( ( A. x F/ z  x  =  y  /\  A. x F/ z ph )  ->  F/ z [ y  /  x ] ph )
2221ex 114 . . . . 5  |-  ( A. x F/ z  x  =  y  ->  ( A. x F/ z ph  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
2310, 22sylbir 134 . . . 4  |-  ( A. x A. z ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )  ->  ( A. x F/ z ph  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
248, 23jaoi 706 . . 3  |-  ( ( A. z  z  =  y  \/  A. x A. z ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)  ->  ( A. x F/ z ph  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
256, 24jaoi 706 . 2  |-  ( ( A. z  z  =  x  \/  ( A. z  z  =  y  \/  A. x A. z
( x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) ) )  ->  ( A. x F/ z ph  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
261, 25ax-mp 5 1  |-  ( A. x F/ z ph  ->  F/ z [ y  /  x ] ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 698   A.wal 1330   F/wnf 1437   E.wex 1469   [wsb 1736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1438  df-sb 1737
This theorem is referenced by:  nfsbt  1950
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