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Theorem nfsbxyt 1955
Description: Closed form of nfsbxy 1954. (Contributed by Jim Kingdon, 9-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
nfsbxyt  |-  ( A. x F/ z ph  ->  F/ z [ y  /  x ] ph )
Distinct variable groups:    x, y    y,
z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem nfsbxyt
StepHypRef Expression
1 ax-bndl 1520 . 2  |-  ( A. z  z  =  x  \/  ( A. z  z  =  y  \/  A. x A. z ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
) )
2 nfs1v 1951 . . . . 5  |-  F/ z [ y  /  z ] ph
3 drsb1 1810 . . . . . 6  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( [ y  / 
z ] ph  <->  [ y  /  x ] ph )
)
43drnf2 1745 . . . . 5  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( F/ z [ y  /  z ]
ph 
<->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
52, 4mpbii 148 . . . 4  |-  ( A. z  z  =  x  ->  F/ z [ y  /  x ] ph )
65a1d 22 . . 3  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. x F/ z ph  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
7 a16nf 1877 . . . . 5  |-  ( A. z  z  =  y  ->  F/ z [ y  /  x ] ph )
87a1d 22 . . . 4  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( A. x F/ z ph  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
9 df-nf 1472 . . . . . 6  |-  ( F/ z  x  =  y  <->  A. z ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
109albii 1481 . . . . 5  |-  ( A. x F/ z  x  =  y  <->  A. x A. z
( x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) )
11 sb5 1899 . . . . . . 7  |-  ( [ y  /  x ] ph 
<->  E. x ( x  =  y  /\  ph ) )
12 nfa1 1552 . . . . . . . . 9  |-  F/ x A. x F/ z  x  =  y
13 nfa1 1552 . . . . . . . . 9  |-  F/ x A. x F/ z ph
1412, 13nfan 1576 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( A. x F/ z  x  =  y  /\  A. x F/ z ph )
15 sp 1522 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x F/ z  x  =  y  ->  F/ z  x  =  y )
1615adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x F/ z  x  =  y  /\  A. x F/ z ph )  ->  F/ z  x  =  y )
17 sp 1522 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x F/ z ph  ->  F/ z ph )
1817adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x F/ z  x  =  y  /\  A. x F/ z ph )  ->  F/ z ph )
1916, 18nfand 1579 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x F/ z  x  =  y  /\  A. x F/ z ph )  ->  F/ z ( x  =  y  /\  ph ) )
2014, 19nfexd 1772 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x F/ z  x  =  y  /\  A. x F/ z ph )  ->  F/ z E. x ( x  =  y  /\  ph )
)
2111, 20nfxfrd 1486 . . . . . 6  |-  ( ( A. x F/ z  x  =  y  /\  A. x F/ z ph )  ->  F/ z [ y  /  x ] ph )
2221ex 115 . . . . 5  |-  ( A. x F/ z  x  =  y  ->  ( A. x F/ z ph  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
2310, 22sylbir 135 . . . 4  |-  ( A. x A. z ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )  ->  ( A. x F/ z ph  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
248, 23jaoi 717 . . 3  |-  ( ( A. z  z  =  y  \/  A. x A. z ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)  ->  ( A. x F/ z ph  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
256, 24jaoi 717 . 2  |-  ( ( A. z  z  =  x  \/  ( A. z  z  =  y  \/  A. x A. z
( x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) ) )  ->  ( A. x F/ z ph  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
261, 25ax-mp 5 1  |-  ( A. x F/ z ph  ->  F/ z [ y  /  x ] ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    \/ wo 709   A.wal 1362   F/wnf 1471   E.wex 1503   [wsb 1773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1472  df-sb 1774
This theorem is referenced by:  nfsbt  1988
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