Theorem nfsbxyt 1879

Description: Closed form of nfsbxy 1878. (Contributed by Jim Kingdon, 9-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nfsbxyt	|- ( A. x F/ z ph -> F/ z [ y / x ] ph )

Distinct variable groups:   x, y   y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem nfsbxyt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-bndl 1454	. 2 |- ( A. z z = x \/ ( A. z z = y \/ A. x A. z ( x = y -> A. z x = y ) ) )
2		nfs1v 1875	. . . . 5 |- F/ z [ y / z ] ph
3		drsb1 1738	. . . . . 6 |- ( A. z z = x -> ( [ y / z ] ph <-> [ y / x ] ph ) )
4	3	drnf2 1680	. . . . 5 |- ( A. z z = x -> ( F/ z [ y / z ] ph <-> F/ z [ y / x ] ph ) )
5	2, 4	mpbii 147	. . . 4 |- ( A. z z = x -> F/ z [ y / x ] ph )
6	5	a1d 22	. . 3 |- ( A. z z = x -> ( A. x F/ z ph -> F/ z [ y / x ] ph ) )
7		a16nf 1805	. . . . 5 |- ( A. z z = y -> F/ z [ y / x ] ph )
8	7	a1d 22	. . . 4 |- ( A. z z = y -> ( A. x F/ z ph -> F/ z [ y / x ] ph ) )
9		df-nf 1405	. . . . . 6 |- ( F/ z x = y <-> A. z ( x = y -> A. z x = y ) )
10	9	albii 1414	. . . . 5 |- ( A. x F/ z x = y <-> A. x A. z ( x = y -> A. z x = y ) )
11		sb5 1826	. . . . . . 7 |- ( [ y / x ] ph <-> E. x ( x = y /\ ph ) )
12		nfa1 1489	. . . . . . . . 9 |- F/ x A. x F/ z x = y
13		nfa1 1489	. . . . . . . . 9 |- F/ x A. x F/ z ph
14	12, 13	nfan 1512	. . . . . . . 8 |- F/ x ( A. x F/ z x = y /\ A. x F/ z ph )
15		sp 1456	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x F/ z x = y -> F/ z x = y )
16	15	adantr 272	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x F/ z x = y /\ A. x F/ z ph ) -> F/ z x = y )
17		sp 1456	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x F/ z ph -> F/ z ph )
18	17	adantl 273	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x F/ z x = y /\ A. x F/ z ph ) -> F/ z ph )
19	16, 18	nfand 1515	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x F/ z x = y /\ A. x F/ z ph ) -> F/ z ( x = y /\ ph ) )
20	14, 19	nfexd 1702	. . . . . . 7 |- ( ( A. x F/ z x = y /\ A. x F/ z ph ) -> F/ z E. x ( x = y /\ ph ) )
21	11, 20	nfxfrd 1419	. . . . . 6 |- ( ( A. x F/ z x = y /\ A. x F/ z ph ) -> F/ z [ y / x ] ph )
22	21	ex 114	. . . . 5 |- ( A. x F/ z x = y -> ( A. x F/ z ph -> F/ z [ y / x ] ph ) )
23	10, 22	sylbir 134	. . . 4 |- ( A. x A. z ( x = y -> A. z x = y ) -> ( A. x F/ z ph -> F/ z [ y / x ] ph ) )
24	8, 23	jaoi 677	. . 3 |- ( ( A. z z = y \/ A. x A. z ( x = y -> A. z x = y ) ) -> ( A. x F/ z ph -> F/ z [ y / x ] ph ) )
25	6, 24	jaoi 677	. 2 |- ( ( A. z z = x \/ ( A. z z = y \/ A. x A. z ( x = y -> A. z x = y ) ) ) -> ( A. x F/ z ph -> F/ z [ y / x ] ph ) )
26	1, 25	ax-mp 7	1 |- ( A. x F/ z ph -> F/ z [ y / x ] ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 670   A.wal 1297   F/wnf 1404   E.wex 1436   [wsb 1703

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1405  df-sb 1704

This theorem is referenced by:  nfsbt  1910