Theorem nfexd 1688

Description: If 𝑥 is not free in 𝜑, it is not free in ∃𝑦𝜑. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Sep-2016.) (Proof rewritten by Jim Kingdon, 7-Feb-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfald.1	⊢ Ⅎ𝑦𝜑
nfald.2	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝜓)

Assertion

Ref	Expression
nfexd	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥∃𝑦𝜓)

Proof of Theorem nfexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfald.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
2	1	nfri 1455	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦𝜑)
3		nfald.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝜓)
4		df-nf 1393	. . . . . . 7 ⊢ (Ⅎ𝑥𝜓 ↔ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))
5	3, 4	sylib 120	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))
6	2, 5	alrimih 1401	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))
7		alcom 1410	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) ↔ ∀𝑥∀𝑦(𝜓 → ∀𝑥𝜓))
8	6, 7	sylib 120	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥∀𝑦(𝜓 → ∀𝑥𝜓))
9		exim 1533	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (∃𝑦𝜓 → ∃𝑦∀𝑥𝜓))
10	9	alimi 1387	. . . 4 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → ∀𝑥(∃𝑦𝜓 → ∃𝑦∀𝑥𝜓))
11	8, 10	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥(∃𝑦𝜓 → ∃𝑦∀𝑥𝜓))
12		19.12 1598	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦∀𝑥𝜓 → ∀𝑥∃𝑦𝜓)
13	12	imim2i 12	. . . 4 ⊢ ((∃𝑦𝜓 → ∃𝑦∀𝑥𝜓) → (∃𝑦𝜓 → ∀𝑥∃𝑦𝜓))
14	13	alimi 1387	. . 3 ⊢ (∀𝑥(∃𝑦𝜓 → ∃𝑦∀𝑥𝜓) → ∀𝑥(∃𝑦𝜓 → ∀𝑥∃𝑦𝜓))
15	11, 14	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥(∃𝑦𝜓 → ∀𝑥∃𝑦𝜓))
16		df-nf 1393	. 2 ⊢ (Ⅎ𝑥∃𝑦𝜓 ↔ ∀𝑥(∃𝑦𝜓 → ∀𝑥∃𝑦𝜓))
17	15, 16	sylibr 132	1 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥∃𝑦𝜓)

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1285  Ⅎwnf 1392  ∃wex 1424

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-4 1443  ax-ial 1470

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1393

This theorem is referenced by:  nfsbxy  1863  nfsbxyt  1864  nfeudv  1960  nfmod  1962  nfeld  2240  nfrexdxy  2407