Theorem papeq1 7562

Description: Equality theorem for apartness predicate. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
papeq1	|- ( R = S -> ( R Ap A <-> S Ap A ) )

Proof of Theorem papeq1

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3263	. . . 4 |- ( R = S -> ( R C_ ( A X. A ) <-> S C_ ( A X. A ) ) )
2		breq 4113	. . . . . 6 |- ( R = S -> ( x R x <-> x S x ) )
3	2	notbid 673	. . . . 5 |- ( R = S -> ( -. x R x <-> -. x S x ) )
4	3	ralbidv 2544	. . . 4 |- ( R = S -> ( A. x e. A -. x R x <-> A. x e. A -. x S x ) )
5	1, 4	anbi12d 473	. . 3 |- ( R = S -> ( ( R C_ ( A X. A ) /\ A. x e. A -. x R x ) <-> ( S C_ ( A X. A ) /\ A. x e. A -. x S x ) ) )
6		breq 4113	. . . . . 6 |- ( R = S -> ( x R y <-> x S y ) )
7		breq 4113	. . . . . 6 |- ( R = S -> ( y R x <-> y S x ) )
8	6, 7	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( R = S -> ( ( x R y -> y R x ) <-> ( x S y -> y S x ) ) )
9	8	2ralbidv 2568	. . . 4 |- ( R = S -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y -> y R x ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x S y -> y S x ) ) )
10		breq 4113	. . . . . . . 8 |- ( R = S -> ( x R z <-> x S z ) )
11		breq 4113	. . . . . . . 8 |- ( R = S -> ( y R z <-> y S z ) )
12	10, 11	orbi12d 801	. . . . . . 7 |- ( R = S -> ( ( x R z \/ y R z ) <-> ( x S z \/ y S z ) ) )
13	6, 12	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( R = S -> ( ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) <-> ( x S y -> ( x S z \/ y S z ) ) ) )
14	13	ralbidv 2544	. . . . 5 |- ( R = S -> ( A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) <-> A. z e. A ( x S y -> ( x S z \/ y S z ) ) ) )
15	14	2ralbidv 2568	. . . 4 |- ( R = S -> ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x S y -> ( x S z \/ y S z ) ) ) )
16	9, 15	anbi12d 473	. . 3 |- ( R = S -> ( ( A. x e. A A. y e. A ( x R y -> y R x ) /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) ) <-> ( A. x e. A A. y e. A ( x S y -> y S x ) /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x S y -> ( x S z \/ y S z ) ) ) ) )
17	5, 16	anbi12d 473	. 2 |- ( R = S -> ( ( ( R C_ ( A X. A ) /\ A. x e. A -. x R x ) /\ ( A. x e. A A. y e. A ( x R y -> y R x ) /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) ) ) <-> ( ( S C_ ( A X. A ) /\ A. x e. A -. x S x ) /\ ( A. x e. A A. y e. A ( x S y -> y S x ) /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x S y -> ( x S z \/ y S z ) ) ) ) ) )
18		df-pap 7561	. 2 |- ( R Ap A <-> ( ( R C_ ( A X. A ) /\ A. x e. A -. x R x ) /\ ( A. x e. A A. y e. A ( x R y -> y R x ) /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) ) ) )
19		df-pap 7561	. 2 |- ( S Ap A <-> ( ( S C_ ( A X. A ) /\ A. x e. A -. x S x ) /\ ( A. x e. A A. y e. A ( x S y -> y S x ) /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x S y -> ( x S z \/ y S z ) ) ) ) )
20	17, 18, 19	3bitr4g 223	1 |- ( R = S -> ( R Ap A <-> S Ap A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   A.wral 2522   C_ wss 3213   class class class wbr 4111   X. cxp 4749   Ap wap 7560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-ral 2527  df-in 3219  df-ss 3226  df-br 4112  df-pap 7561

This theorem is referenced by: (None)