Theorem sseq1 3250

Description: Equality theorem for subclasses. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 21-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
sseq1	|- ( A = B -> ( A C_ C <-> B C_ C ) )

Proof of Theorem sseq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqss 3242	. 2 |- ( A = B <-> ( A C_ B /\ B C_ A ) )
2		sstr2 3234	. . . 4 |- ( B C_ A -> ( A C_ C -> B C_ C ) )
3	2	adantl 277	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B C_ A ) -> ( A C_ C -> B C_ C ) )
4		sstr2 3234	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( B C_ C -> A C_ C ) )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B C_ A ) -> ( B C_ C -> A C_ C ) )
6	3, 5	impbid 129	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B C_ A ) -> ( A C_ C <-> B C_ C ) )
7	1, 6	sylbi 121	1 |- ( A = B -> ( A C_ C <-> B C_ C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   C_ wss 3200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-11 1554  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-in 3206  df-ss 3213

This theorem is referenced by:  sseq12  3252  sseq1i  3253  sseq1d  3256  nssne2  3286  sbss  3602  pwjust  3653  elpw  3658  elpwg  3660  sssnr  3836  ssprr  3839  sstpr  3840  unimax  3927  trss  4196  elssabg  4238  bnd2  4263  exmidexmid  4286  exmidsssn  4292  exmidsssnc  4293  exmid1stab  4298  mss  4318  exss  4319  frforeq2  4442  ordtri2orexmid  4621  ontr2exmid  4623  onsucsssucexmid  4625  reg2exmidlema  4632  sucprcreg  4647  ordtri2or2exmid  4669  ontri2orexmidim  4670  onintexmid  4671  tfis  4681  tfisi  4685  elomssom  4703  nnregexmid  4719  releq  4808  xpsspw  4838  iss  5059  relcnvtr  5256  iotass  5304  fununi  5398  funcnvuni  5399  funimaexglem  5413  ffoss  5616  ssimaex  5707  tfrlem1  6474  el2oss1o  6611  nnsucsssuc  6660  qsss  6763  phpm  7052  ssfiexmid  7063  ssfiexmidt  7065  findcard2d  7080  findcard2sd  7081  diffifi  7083  isinfinf  7086  fiintim  7123  fisseneq  7127  fidcenumlemrk  7153  fidcenumlemr  7154  sbthlem2  7157  isbth  7166  ctssdclemr  7311  onntri45  7459  tapeq1  7471  elinp  7694  sup3exmid  9137  zfz1isolem1  11105  zfz1iso  11106  fimaxre2  11805  sumeq1  11933  fsum2d  12014  fsumabs  12044  fsumiun  12056  prodeq1f  12131  fprod2d  12202  exmidunben  13065  ctiunct  13079  ssomct  13084  restsspw  13350  lspval  14423  uniopn  14744  fiinopn  14747  fiinbas  14792  baspartn  14793  eltg2  14796  eltg3  14800  topbas  14810  clsval  14854  neival  14886  neiint  14888  neipsm  14897  opnneissb  14898  opnssneib  14899  innei  14906  restbasg  14911  cnpdis  14985  txbas  15001  eltx  15002  neitx  15011  txlm  15022  blssexps  15172  blssex  15173  neibl  15234  metrest  15249  xmettx  15253  tgioo  15297  tgqioo  15298  limcimolemlt  15407  recnprss  15430  dvmptfsum  15468  lpvtx  15949  issubgr2  16128  subgrprop2  16130  egrsubgr  16133  0uhgrsubgr  16135  bj-om  16583  bj-2inf  16584  bj-nntrans  16597  bj-omtrans  16602  subctctexmid  16652  domomsubct  16653  pw1nct  16655