Theorem papeq2 7563

Description: Equality theorem for apartness predicate. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
papeq2	|- ( A = B -> ( R Ap A <-> R Ap B ) )

Proof of Theorem papeq2

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . . 6 |- ( A = B -> A = B )
2	1	sqxpeqd 4777	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A X. A ) = ( B X. B ) )
3	2	sseq2d 3270	. . . 4 |- ( A = B -> ( R C_ ( A X. A ) <-> R C_ ( B X. B ) ) )
4		raleq 2743	. . . 4 |- ( A = B -> ( A. x e. A -. x R x <-> A. x e. B -. x R x ) )
5	3, 4	anbi12d 473	. . 3 |- ( A = B -> ( ( R C_ ( A X. A ) /\ A. x e. A -. x R x ) <-> ( R C_ ( B X. B ) /\ A. x e. B -. x R x ) ) )
6		raleq 2743	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A. y e. A ( x R y -> y R x ) <-> A. y e. B ( x R y -> y R x ) ) )
7	6	raleqbi1dv 2755	. . . 4 |- ( A = B -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y -> y R x ) <-> A. x e. B A. y e. B ( x R y -> y R x ) ) )
8		raleq 2743	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) <-> A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) ) )
9	8	raleqbi1dv 2755	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) <-> A. y e. B A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) ) )
10	9	raleqbi1dv 2755	. . . 4 |- ( A = B -> ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) ) )
11	7, 10	anbi12d 473	. . 3 |- ( A = B -> ( ( A. x e. A A. y e. A ( x R y -> y R x ) /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) ) <-> ( A. x e. B A. y e. B ( x R y -> y R x ) /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) ) ) )
12	5, 11	anbi12d 473	. 2 |- ( A = B -> ( ( ( R C_ ( A X. A ) /\ A. x e. A -. x R x ) /\ ( A. x e. A A. y e. A ( x R y -> y R x ) /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) ) ) <-> ( ( R C_ ( B X. B ) /\ A. x e. B -. x R x ) /\ ( A. x e. B A. y e. B ( x R y -> y R x ) /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) ) ) ) )
13		df-pap 7561	. 2 |- ( R Ap A <-> ( ( R C_ ( A X. A ) /\ A. x e. A -. x R x ) /\ ( A. x e. A A. y e. A ( x R y -> y R x ) /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) ) ) )
14		df-pap 7561	. 2 |- ( R Ap B <-> ( ( R C_ ( B X. B ) /\ A. x e. B -. x R x ) /\ ( A. x e. B A. y e. B ( x R y -> y R x ) /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) ) ) )
15	12, 13, 14	3bitr4g 223	1 |- ( A = B -> ( R Ap A <-> R Ap B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   A.wral 2522   C_ wss 3213   class class class wbr 4111   X. cxp 4749   Ap wap 7560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-in 3219  df-ss 3226  df-opab 4174  df-xp 4757  df-pap 7561

This theorem is referenced by:  opprdrng  14480