Theorem r19.12 2637

Description: Theorem 19.12 of [Margaris] p. 89 with restricted quantifiers. (Contributed by NM, 15-Oct-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 30-May-2011.)

Assertion

Ref	Expression
r19.12	|- ( E. x e. A A. y e. B ph -> A. y e. B E. x e. A ph )

Distinct variable groups:   x, y   y, A   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)   B( y)

Proof of Theorem r19.12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2372	. . . 4 |- F/_ y A
2		nfra1 2561	. . . 4 |- F/ y A. y e. B ph
3	1, 2	nfrexw 2569	. . 3 |- F/ y E. x e. A A. y e. B ph
4		ax-1 6	. . 3 |- ( E. x e. A A. y e. B ph -> ( y e. B -> E. x e. A A. y e. B ph ) )
5	3, 4	ralrimi 2601	. 2 |- ( E. x e. A A. y e. B ph -> A. y e. B E. x e. A A. y e. B ph )
6		rsp 2577	. . . . 5 |- ( A. y e. B ph -> ( y e. B -> ph ) )
7	6	com12 30	. . . 4 |- ( y e. B -> ( A. y e. B ph -> ph ) )
8	7	reximdv 2631	. . 3 |- ( y e. B -> ( E. x e. A A. y e. B ph -> E. x e. A ph ) )
9	8	ralimia 2591	. 2 |- ( A. y e. B E. x e. A A. y e. B ph -> A. y e. B E. x e. A ph )
10	5, 9	syl 14	1 |- ( E. x e. A A. y e. B ph -> A. y e. B E. x e. A ph )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514

This theorem is referenced by:  iuniin  3975