Theorem r19.12 2563

Description: Theorem 19.12 of [Margaris] p. 89 with restricted quantifiers. (Contributed by NM, 15-Oct-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 30-May-2011.)

Assertion

Ref	Expression
r19.12	|- ( E. x e. A A. y e. B ph -> A. y e. B E. x e. A ph )

Distinct variable groups:   x, y   y, A   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)   B( y)

Proof of Theorem r19.12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2299	. . . 4 |- F/_ y A
2		nfra1 2488	. . . 4 |- F/ y A. y e. B ph
3	1, 2	nfrexxy 2496	. . 3 |- F/ y E. x e. A A. y e. B ph
4		ax-1 6	. . 3 |- ( E. x e. A A. y e. B ph -> ( y e. B -> E. x e. A A. y e. B ph ) )
5	3, 4	ralrimi 2528	. 2 |- ( E. x e. A A. y e. B ph -> A. y e. B E. x e. A A. y e. B ph )
6		rsp 2504	. . . . 5 |- ( A. y e. B ph -> ( y e. B -> ph ) )
7	6	com12 30	. . . 4 |- ( y e. B -> ( A. y e. B ph -> ph ) )
8	7	reximdv 2558	. . 3 |- ( y e. B -> ( E. x e. A A. y e. B ph -> E. x e. A ph ) )
9	8	ralimia 2518	. 2 |- ( A. y e. B E. x e. A A. y e. B ph -> A. y e. B E. x e. A ph )
10	5, 9	syl 14	1 |- ( E. x e. A A. y e. B ph -> A. y e. B E. x e. A ph )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-nf 1441  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441

This theorem is referenced by:  iuniin  3859