Theorem ralidm 3515

Description: Idempotent law for restricted quantifier. (Contributed by NM, 28-Mar-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ralidm	|- ( A. x e. A A. x e. A ph <-> A. x e. A ph )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem ralidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfra1 2501	. . 3 |- F/ x A. x e. A A. x e. A ph
2		anidm 394	. . . 4 |- ( ( x e. A /\ x e. A ) <-> x e. A )
3		rsp2 2520	. . . 4 |- ( A. x e. A A. x e. A ph -> ( ( x e. A /\ x e. A ) -> ph ) )
4	2, 3	syl5bir 152	. . 3 |- ( A. x e. A A. x e. A ph -> ( x e. A -> ph ) )
5	1, 4	ralrimi 2541	. 2 |- ( A. x e. A A. x e. A ph -> A. x e. A ph )
6		ax-1 6	. . . 4 |- ( A. x e. A ph -> ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) )
7		nfra1 2501	. . . . 5 |- F/ x A. x e. A ph
8	7	19.23 1671	. . . 4 |- ( A. x ( x e. A -> A. x e. A ph ) <-> ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) )
9	6, 8	sylibr 133	. . 3 |- ( A. x e. A ph -> A. x ( x e. A -> A. x e. A ph ) )
10		df-ral 2453	. . 3 |- ( A. x e. A A. x e. A ph <-> A. x ( x e. A -> A. x e. A ph ) )
11	9, 10	sylibr 133	. 2 |- ( A. x e. A ph -> A. x e. A A. x e. A ph )
12	5, 11	impbii 125	1 |- ( A. x e. A A. x e. A ph <-> A. x e. A ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1346   E.wex 1485   e. wcel 2141   A.wral 2448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1440  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-4 1503  ax-ial 1527  ax-i5r 1528

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1454  df-ral 2453

This theorem is referenced by:  issref  4993  cnvpom  5153