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Theorem ralidm 3369
Description: Idempotent law for restricted quantifier. (Contributed by NM, 28-Mar-1997.)
Assertion
Ref Expression
ralidm  |-  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph  <->  A. x  e.  A  ph )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem ralidm
StepHypRef Expression
1 nfra1 2405 . . 3  |-  F/ x A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph
2 anidm 388 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  e.  A )  <->  x  e.  A )
3 rsp2 2421 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph  ->  ( ( x  e.  A  /\  x  e.  A
)  ->  ph ) )
42, 3syl5bir 151 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph  ->  ( x  e.  A  ->  ph ) )
51, 4ralrimi 2440 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph  ->  A. x  e.  A  ph )
6 ax-1 5 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  ph  ->  ( E. x  x  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph ) )
7 nfra1 2405 . . . . 5  |-  F/ x A. x  e.  A  ph
8719.23 1611 . . . 4  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph )  <->  ( E. x  x  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph ) )
96, 8sylibr 132 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  ph  ->  A. x ( x  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph ) )
10 df-ral 2360 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph  <->  A. x
( x  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph ) )
119, 10sylibr 132 . 2  |-  ( A. x  e.  A  ph  ->  A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph )
125, 11impbii 124 1  |-  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph  <->  A. x  e.  A  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wal 1285   E.wex 1424    e. wcel 1436   A.wral 2355
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-5 1379  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-4 1443  ax-ial 1470  ax-i5r 1471
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1393  df-ral 2360
This theorem is referenced by:  issref  4781  cnvpom  4939
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