Theorem ralidm 3551

Description: Idempotent law for restricted quantifier. (Contributed by NM, 28-Mar-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ralidm	|- ( A. x e. A A. x e. A ph <-> A. x e. A ph )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem ralidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfra1 2528	. . 3 |- F/ x A. x e. A A. x e. A ph
2		anidm 396	. . . 4 |- ( ( x e. A /\ x e. A ) <-> x e. A )
3		rsp2 2547	. . . 4 |- ( A. x e. A A. x e. A ph -> ( ( x e. A /\ x e. A ) -> ph ) )
4	2, 3	biimtrrid 153	. . 3 |- ( A. x e. A A. x e. A ph -> ( x e. A -> ph ) )
5	1, 4	ralrimi 2568	. 2 |- ( A. x e. A A. x e. A ph -> A. x e. A ph )
6		ax-1 6	. . . 4 |- ( A. x e. A ph -> ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) )
7		nfra1 2528	. . . . 5 |- F/ x A. x e. A ph
8	7	19.23 1692	. . . 4 |- ( A. x ( x e. A -> A. x e. A ph ) <-> ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) )
9	6, 8	sylibr 134	. . 3 |- ( A. x e. A ph -> A. x ( x e. A -> A. x e. A ph ) )
10		df-ral 2480	. . 3 |- ( A. x e. A A. x e. A ph <-> A. x ( x e. A -> A. x e. A ph ) )
11	9, 10	sylibr 134	. 2 |- ( A. x e. A ph -> A. x e. A A. x e. A ph )
12	5, 11	impbii 126	1 |- ( A. x e. A A. x e. A ph <-> A. x e. A ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1362   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1461  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-4 1524  ax-ial 1548  ax-i5r 1549

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-ral 2480

This theorem is referenced by:  issref  5052  cnvpom  5212