Theorem issref 5048

Description: Two ways to state a relation is reflexive. Adapted from Tarski. (Contributed by FL, 15-Jan-2012.) (Revised by NM, 30-Mar-2016.)

Assertion

Ref	Expression
issref	|- ( ( _I |` A ) C_ R <-> A. x e. A x R x )

Distinct variable groups:   x, A   x, R

Proof of Theorem issref

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2477	. 2 |- ( A. x e. A x R x <-> A. x ( x e. A -> x R x ) )
2		vex 2763	. . . . 5 |- x e. _V
3		opelresi 4953	. . . . 5 |- ( x e. _V -> ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) <-> x e. A ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) <-> x e. A )
5		df-br 4030	. . . . 5 |- ( x R x <-> <. x , x >. e. R )
6	5	bicomi 132	. . . 4 |- ( <. x , x >. e. R <-> x R x )
7	4, 6	imbi12i 239	. . 3 |- ( ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) <-> ( x e. A -> x R x ) )
8	7	albii 1481	. 2 |- ( A. x ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) <-> A. x ( x e. A -> x R x ) )
9		ralidm 3547	. . . . . 6 |- ( A. x e. _V A. x e. _V ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) <-> A. x e. _V ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) )
10		ralv 2777	. . . . . 6 |- ( A. x e. _V ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) <-> A. x ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) )
11	9, 10	bitri 184	. . . . 5 |- ( A. x e. _V A. x e. _V ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) <-> A. x ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) )
12		df-ral 2477	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. _V ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) <-> A. x ( x e. _V -> ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) ) )
13		pm2.27 40	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. _V -> ( ( x e. _V -> ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) ) -> ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) ) )
14		opelresg 4949	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. _V -> ( <. x , z >. e. ( _I |` A ) <-> ( <. x , z >. e. _I /\ x e. A ) ) )
15		df-br 4030	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x _I z <-> <. x , z >. e. _I )
16		vex 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- z e. _V
17	16	ideq 4814	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x _I z <-> x = z )
18		opelresi 4953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. A -> ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) <-> x e. A ) )
19		pm2.27 40	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> ( ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) -> <. x , x >. e. R ) )
20		opeq2 3805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x = z -> <. x , x >. = <. x , z >. )
21	20	eleq1d 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = z -> ( <. x , x >. e. R <-> <. x , z >. e. R ) )
22	21	biimpcd 159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( <. x , x >. e. R -> ( x = z -> <. x , z >. e. R ) )
23	19, 22	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> ( ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) -> ( x = z -> <. x , z >. e. R ) ) )
24	18, 23	biimtrrdi 164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. A -> ( x e. A -> ( ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) -> ( x = z -> <. x , z >. e. R ) ) ) )
25	24	pm2.43i 49	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. A -> ( ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) -> ( x = z -> <. x , z >. e. R ) ) )
26	25	com3r 79	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = z -> ( x e. A -> ( ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) -> <. x , z >. e. R ) ) )
27	17, 26	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x _I z -> ( x e. A -> ( ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) -> <. x , z >. e. R ) ) )
28	15, 27	sylbir 135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. x , z >. e. _I -> ( x e. A -> ( ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) -> <. x , z >. e. R ) ) )
29	28	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. x , z >. e. _I /\ x e. A ) -> ( ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) -> <. x , z >. e. R ) )
30	14, 29	biimtrdi 163	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. _V -> ( <. x , z >. e. ( _I |` A ) -> ( ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) -> <. x , z >. e. R ) ) )
31	30	com3r 79	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) -> ( z e. _V -> ( <. x , z >. e. ( _I |` A ) -> <. x , z >. e. R ) ) )
32	31	ralrimiv 2566	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) -> A. z e. _V ( <. x , z >. e. ( _I |` A ) -> <. x , z >. e. R ) )
33	13, 32	syl6 33	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. _V -> ( ( x e. _V -> ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) ) -> A. z e. _V ( <. x , z >. e. ( _I |` A ) -> <. x , z >. e. R ) ) )
34	2, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. _V -> ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) ) -> A. z e. _V ( <. x , z >. e. ( _I |` A ) -> <. x , z >. e. R ) )
35	34	sps 1548	. . . . . . . . 9 |- ( A. x ( x e. _V -> ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) ) -> A. z e. _V ( <. x , z >. e. ( _I |` A ) -> <. x , z >. e. R ) )
36	12, 35	sylbi 121	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. _V ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) -> A. z e. _V ( <. x , z >. e. ( _I |` A ) -> <. x , z >. e. R ) )
37	36	ralimi 2557	. . . . . . 7 |- ( A. x e. _V A. x e. _V ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) -> A. x e. _V A. z e. _V ( <. x , z >. e. ( _I |` A ) -> <. x , z >. e. R ) )
38		eleq1 2256	. . . . . . . . 9 |- ( y = <. x , z >. -> ( y e. ( _I |` A ) <-> <. x , z >. e. ( _I |` A ) ) )
39		eleq1 2256	. . . . . . . . 9 |- ( y = <. x , z >. -> ( y e. R <-> <. x , z >. e. R ) )
40	38, 39	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( y = <. x , z >. -> ( ( y e. ( _I |` A ) -> y e. R ) <-> ( <. x , z >. e. ( _I |` A ) -> <. x , z >. e. R ) ) )
41	40	ralxp 4805	. . . . . . 7 |- ( A. y e. ( _V X. _V ) ( y e. ( _I |` A ) -> y e. R ) <-> A. x e. _V A. z e. _V ( <. x , z >. e. ( _I |` A ) -> <. x , z >. e. R ) )
42	37, 41	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( A. x e. _V A. x e. _V ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) -> A. y e. ( _V X. _V ) ( y e. ( _I |` A ) -> y e. R ) )
43		df-ral 2477	. . . . . . 7 |- ( A. y e. ( _V X. _V ) ( y e. ( _I |` A ) -> y e. R ) <-> A. y ( y e. ( _V X. _V ) -> ( y e. ( _I |` A ) -> y e. R ) ) )
44		relres 4970	. . . . . . . . . . . 12 |- Rel ( _I |` A )
45		df-rel 4666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Rel ( _I |` A ) <-> ( _I |` A ) C_ ( _V X. _V ) )
46	44, 45	mpbi 145	. . . . . . . . . . 11 |- ( _I |` A ) C_ ( _V X. _V )
47	46	sseli 3175	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( _I |` A ) -> y e. ( _V X. _V ) )
48	47	ancri 324	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( _I |` A ) -> ( y e. ( _V X. _V ) /\ y e. ( _I |` A ) ) )
49		pm3.31 262	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( _V X. _V ) -> ( y e. ( _I |` A ) -> y e. R ) ) -> ( ( y e. ( _V X. _V ) /\ y e. ( _I |` A ) ) -> y e. R ) )
50	48, 49	syl5 32	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ( _V X. _V ) -> ( y e. ( _I |` A ) -> y e. R ) ) -> ( y e. ( _I |` A ) -> y e. R ) )
51	50	alimi 1466	. . . . . . 7 |- ( A. y ( y e. ( _V X. _V ) -> ( y e. ( _I |` A ) -> y e. R ) ) -> A. y ( y e. ( _I |` A ) -> y e. R ) )
52	43, 51	sylbi 121	. . . . . 6 |- ( A. y e. ( _V X. _V ) ( y e. ( _I |` A ) -> y e. R ) -> A. y ( y e. ( _I |` A ) -> y e. R ) )
53	42, 52	syl 14	. . . . 5 |- ( A. x e. _V A. x e. _V ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) -> A. y ( y e. ( _I |` A ) -> y e. R ) )
54	11, 53	sylbir 135	. . . 4 |- ( A. x ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) -> A. y ( y e. ( _I |` A ) -> y e. R ) )
55		dfss2 3168	. . . 4 |- ( ( _I |` A ) C_ R <-> A. y ( y e. ( _I |` A ) -> y e. R ) )
56	54, 55	sylibr 134	. . 3 |- ( A. x ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) -> ( _I |` A ) C_ R )
57		ssel 3173	. . . 4 |- ( ( _I |` A ) C_ R -> ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) )
58	57	alrimiv 1885	. . 3 |- ( ( _I |` A ) C_ R -> A. x ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) )
59	56, 58	impbii 126	. 2 |- ( A. x ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) <-> ( _I |` A ) C_ R )
60	1, 8, 59	3bitr2ri 209	1 |- ( ( _I |` A ) C_ R <-> A. x e. A x R x )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   _Vcvv 2760   C_ wss 3153   <.cop 3621   class class class wbr 4029   _I cid 4319   X. cxp 4657   |` cres 4661   Rel wrel 4664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-res 4671

This theorem is referenced by: (None)