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Theorem issref 4916
Description: Two ways to state a relation is reflexive. Adapted from Tarski. (Contributed by FL, 15-Jan-2012.) (Revised by NM, 30-Mar-2016.)
Assertion
Ref Expression
issref  |-  ( (  _I  |`  A )  C_  R  <->  A. x  e.  A  x R x )
Distinct variable groups:    x, A    x, R

Proof of Theorem issref
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ral 2419 . 2  |-  ( A. x  e.  A  x R x  <->  A. x ( x  e.  A  ->  x R x ) )
2 vex 2684 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
3 opelresi 4825 . . . . 5  |-  ( x  e.  _V  ->  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  <-> 
x  e.  A ) )
42, 3ax-mp 5 . . . 4  |-  ( <.
x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  <-> 
x  e.  A )
5 df-br 3925 . . . . 5  |-  ( x R x  <->  <. x ,  x >.  e.  R
)
65bicomi 131 . . . 4  |-  ( <.
x ,  x >.  e.  R  <->  x R x )
74, 6imbi12i 238 . . 3  |-  ( (
<. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  <->  ( x  e.  A  ->  x R x ) )
87albii 1446 . 2  |-  ( A. x ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  x R x ) )
9 ralidm 3458 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  _V  A. x  e.  _V  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  <->  A. x  e.  _V  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R ) )
10 ralv 2698 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  _V  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  <->  A. x
( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R ) )
119, 10bitri 183 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  _V  A. x  e.  _V  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  <->  A. x
( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R ) )
12 df-ral 2419 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  _V  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  <->  A. x
( x  e.  _V  ->  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R ) ) )
13 pm2.27 40 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  _V  ->  (
( x  e.  _V  ->  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R ) )  ->  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R ) ) )
14 opelresg 4821 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  _V  ->  ( <. x ,  z >.  e.  (  _I  |`  A )  <-> 
( <. x ,  z
>.  e.  _I  /\  x  e.  A ) ) )
15 df-br 3925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  _I  z  <->  <. x ,  z >.  e.  _I  )
16 vex 2684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  z  e. 
_V
1716ideq 4686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  _I  z  <->  x  =  z )
18 opelresi 4825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  A  ->  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  <-> 
x  e.  A ) )
19 pm2.27 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( <.
x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  ( ( <.
x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  <. x ,  x >.  e.  R ) )
20 opeq2 3701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  z  ->  <. x ,  x >.  =  <. x ,  z >. )
2120eleq1d 2206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  z  ->  ( <. x ,  x >.  e.  R  <->  <. x ,  z
>.  e.  R ) )
2221biimpcd 158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( <.
x ,  x >.  e.  R  ->  ( x  =  z  ->  <. x ,  z >.  e.  R
) )
2319, 22syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( <.
x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  ( ( <.
x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  -> 
( x  =  z  ->  <. x ,  z
>.  e.  R ) ) )
2418, 23syl6bir 163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  A  ->  (
x  e.  A  -> 
( ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  (
x  =  z  ->  <. x ,  z >.  e.  R ) ) ) )
2524pm2.43i 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  A  ->  (
( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  -> 
( x  =  z  ->  <. x ,  z
>.  e.  R ) ) )
2625com3r 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  A  -> 
( ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  <. x ,  z >.  e.  R
) ) )
2717, 26sylbi 120 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  _I  z  ->  (
x  e.  A  -> 
( ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  <. x ,  z >.  e.  R
) ) )
2815, 27sylbir 134 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  _I  ->  ( x  e.  A  ->  ( (
<. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  <. x ,  z >.  e.  R ) ) )
2928imp 123 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. x ,  z >.  e.  _I  /\  x  e.  A )  ->  (
( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  <. x ,  z >.  e.  R ) )
3014, 29syl6bi 162 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  _V  ->  ( <. x ,  z >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  ( ( <.
x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  <. x ,  z >.  e.  R ) ) )
3130com3r 79 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
<. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  -> 
( z  e.  _V  ->  ( <. x ,  z
>.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  z
>.  e.  R ) ) )
3231ralrimiv 2502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
<. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  A. z  e.  _V  ( <. x ,  z
>.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  z
>.  e.  R ) )
3313, 32syl6 33 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  _V  ->  (
( x  e.  _V  ->  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R ) )  ->  A. z  e.  _V  ( <. x ,  z
>.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  z
>.  e.  R ) ) )
342, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  _V  ->  (
<. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R ) )  ->  A. z  e.  _V  ( <. x ,  z
>.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  z
>.  e.  R ) )
3534sps 1517 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x ( x  e. 
_V  ->  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R ) )  ->  A. z  e.  _V  ( <. x ,  z
>.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  z
>.  e.  R ) )
3612, 35sylbi 120 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  _V  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  A. z  e.  _V  ( <. x ,  z
>.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  z
>.  e.  R ) )
3736ralimi 2493 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  _V  A. x  e.  _V  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  A. x  e.  _V  A. z  e. 
_V  ( <. x ,  z >.  e.  (  _I  |`  A )  -> 
<. x ,  z >.  e.  R ) )
38 eleq1 2200 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  <. x ,  z
>.  ->  ( y  e.  (  _I  |`  A )  <->  <. x ,  z >.  e.  (  _I  |`  A ) ) )
39 eleq1 2200 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  <. x ,  z
>.  ->  ( y  e.  R  <->  <. x ,  z
>.  e.  R ) )
4038, 39imbi12d 233 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. x ,  z
>.  ->  ( ( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R
)  <->  ( <. x ,  z >.  e.  (  _I  |`  A )  -> 
<. x ,  z >.  e.  R ) ) )
4140ralxp 4677 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  ( _V  X.  _V ) ( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R
)  <->  A. x  e.  _V  A. z  e.  _V  ( <. x ,  z >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  z
>.  e.  R ) )
4237, 41sylibr 133 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  _V  A. x  e.  _V  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  A. y  e.  ( _V  X.  _V ) ( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R
) )
43 df-ral 2419 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  ( _V  X.  _V ) ( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R
)  <->  A. y ( y  e.  ( _V  X.  _V )  ->  ( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R
) ) )
44 relres 4842 . . . . . . . . . . . 12  |-  Rel  (  _I  |`  A )
45 df-rel 4541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Rel  (  _I  |`  A )  <-> 
(  _I  |`  A ) 
C_  ( _V  X.  _V ) )
4644, 45mpbi 144 . . . . . . . . . . 11  |-  (  _I  |`  A )  C_  ( _V  X.  _V )
4746sseli 3088 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  ( _V  X.  _V )
)
4847ancri 322 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  ( y  e.  ( _V  X.  _V )  /\  y  e.  (  _I  |`  A )
) )
49 pm3.31 260 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( _V 
X.  _V )  ->  (
y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R ) )  -> 
( ( y  e.  ( _V  X.  _V )  /\  y  e.  (  _I  |`  A )
)  ->  y  e.  R ) )
5048, 49syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( _V 
X.  _V )  ->  (
y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R ) )  -> 
( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R ) )
5150alimi 1431 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( y  e.  ( _V  X.  _V )  ->  ( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R
) )  ->  A. y
( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R ) )
5243, 51sylbi 120 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( _V  X.  _V ) ( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R
)  ->  A. y
( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R ) )
5342, 52syl 14 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  _V  A. x  e.  _V  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  A. y
( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R ) )
5411, 53sylbir 134 . . . 4  |-  ( A. x ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  A. y
( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R ) )
55 dfss2 3081 . . . 4  |-  ( (  _I  |`  A )  C_  R  <->  A. y ( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R
) )
5654, 55sylibr 133 . . 3  |-  ( A. x ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  (  _I  |`  A )  C_  R )
57 ssel 3086 . . . 4  |-  ( (  _I  |`  A )  C_  R  ->  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  -> 
<. x ,  x >.  e.  R ) )
5857alrimiv 1846 . . 3  |-  ( (  _I  |`  A )  C_  R  ->  A. x
( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R ) )
5956, 58impbii 125 . 2  |-  ( A. x ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  <->  (  _I  |`  A )  C_  R
)
601, 8, 593bitr2ri 208 1  |-  ( (  _I  |`  A )  C_  R  <->  A. x  e.  A  x R x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1329    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2414   _Vcvv 2681    C_ wss 3066   <.cop 3525   class class class wbr 3924    _I cid 4205    X. cxp 4532    |` cres 4536   Rel wrel 4539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-res 4546
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