Theorem cnvpom 5163

Description: The converse of a partial order relation is a partial order relation. (Contributed by NM, 15-Jun-2005.)

Assertion

Ref	Expression
cnvpom	|- ( E. x x e. A -> ( R Po A <-> `' R Po A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, R

Proof of Theorem cnvpom

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.26 2601	. . . . . . 7 |- ( A. w e. A ( A. z e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> ( A. w e. A A. z e. A -. w R w /\ A. w e. A A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) )
2		ralidm 3521	. . . . . . . . 9 |- ( A. w e. A A. w e. A -. w R w <-> A. w e. A -. w R w )
3		r19.3rmv 3511	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x x e. A -> ( -. w R w <-> A. z e. A -. w R w ) )
4	3	ralbidv 2475	. . . . . . . . 9 |- ( E. x x e. A -> ( A. w e. A -. w R w <-> A. w e. A A. z e. A -. w R w ) )
5	2, 4	bitr2id 193	. . . . . . . 8 |- ( E. x x e. A -> ( A. w e. A A. z e. A -. w R w <-> A. w e. A A. w e. A -. w R w ) )
6	5	anbi1d 465	. . . . . . 7 |- ( E. x x e. A -> ( ( A. w e. A A. z e. A -. w R w /\ A. w e. A A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> ( A. w e. A A. w e. A -. w R w /\ A. w e. A A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) ) )
7	1, 6	bitrid 192	. . . . . 6 |- ( E. x x e. A -> ( A. w e. A ( A. z e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> ( A. w e. A A. w e. A -. w R w /\ A. w e. A A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) ) )
8		r19.26 2601	. . . . . . 7 |- ( A. z e. A ( -. w R w /\ ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> ( A. z e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) )
9	8	ralbii 2481	. . . . . 6 |- ( A. w e. A A. z e. A ( -. w R w /\ ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> A. w e. A ( A. z e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) )
10		r19.26 2601	. . . . . 6 |- ( A. w e. A ( A. w e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> ( A. w e. A A. w e. A -. w R w /\ A. w e. A A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) )
11	7, 9, 10	3bitr4g 223	. . . . 5 |- ( E. x x e. A -> ( A. w e. A A. z e. A ( -. w R w /\ ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> A. w e. A ( A. w e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) ) )
12		r19.26 2601	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) <-> ( A. z e. A -. z `' R z /\ A. z e. A ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) )
13		vex 2738	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. _V
14	13, 13	brcnv 4803	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z `' R z <-> z R z )
15		id 19	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = w -> z = w )
16	15, 15	breq12d 4011	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = w -> ( z R z <-> w R w ) )
17	14, 16	bitrid 192	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = w -> ( z `' R z <-> w R w ) )
18	17	notbid 667	. . . . . . . . . 10 |- ( z = w -> ( -. z `' R z <-> -. w R w ) )
19	18	cbvralv 2701	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. A -. z `' R z <-> A. w e. A -. w R w )
20		vex 2738	. . . . . . . . . . . . 13 |- y e. _V
21	13, 20	brcnv 4803	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z `' R y <-> y R z )
22		vex 2738	. . . . . . . . . . . . 13 |- w e. _V
23	20, 22	brcnv 4803	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y `' R w <-> w R y )
24	21, 23	anbi12ci 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z `' R y /\ y `' R w ) <-> ( w R y /\ y R z ) )
25	13, 22	brcnv 4803	. . . . . . . . . . 11 |- ( z `' R w <-> w R z )
26	24, 25	imbi12i 239	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) <-> ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) )
27	26	ralbii 2481	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. A ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) <-> A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) )
28	19, 27	anbi12i 460	. . . . . . . 8 |- ( ( A. z e. A -. z `' R z /\ A. z e. A ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) <-> ( A. w e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) )
29	12, 28	bitr2i 185	. . . . . . 7 |- ( ( A. w e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> A. z e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) )
30	29	ralbii 2481	. . . . . 6 |- ( A. w e. A ( A. w e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> A. w e. A A. z e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) )
31		ralcom 2638	. . . . . 6 |- ( A. w e. A A. z e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) <-> A. z e. A A. w e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) )
32	30, 31	bitri 184	. . . . 5 |- ( A. w e. A ( A. w e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> A. z e. A A. w e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) )
33	11, 32	bitrdi 196	. . . 4 |- ( E. x x e. A -> ( A. w e. A A. z e. A ( -. w R w /\ ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> A. z e. A A. w e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) ) )
34	33	ralbidv 2475	. . 3 |- ( E. x x e. A -> ( A. y e. A A. w e. A A. z e. A ( -. w R w /\ ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> A. y e. A A. z e. A A. w e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) ) )
35		ralcom 2638	. . 3 |- ( A. w e. A A. y e. A A. z e. A ( -. w R w /\ ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> A. y e. A A. w e. A A. z e. A ( -. w R w /\ ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) )
36		ralcom 2638	. . 3 |- ( A. z e. A A. y e. A A. w e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) <-> A. y e. A A. z e. A A. w e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) )
37	34, 35, 36	3bitr4g 223	. 2 |- ( E. x x e. A -> ( A. w e. A A. y e. A A. z e. A ( -. w R w /\ ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> A. z e. A A. y e. A A. w e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) ) )
38		df-po 4290	. 2 |- ( R Po A <-> A. w e. A A. y e. A A. z e. A ( -. w R w /\ ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) )
39		df-po 4290	. 2 |- ( `' R Po A <-> A. z e. A A. y e. A A. w e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) )
40	37, 38, 39	3bitr4g 223	1 |- ( E. x x e. A -> ( R Po A <-> `' R Po A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1490   e. wcel 2146   A.wral 2453   class class class wbr 3998   Po wpo 4288   `'ccnv 4619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-v 2737  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-br 3999  df-opab 4060  df-po 4290  df-cnv 4628

This theorem is referenced by:  cnvsom  5164