Theorem spesbc 2998

Description: Existence form of spsbc 2924. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
spesbc	|- ( [. A / x ]. ph -> E. x ph )

Proof of Theorem spesbc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbcex 2921	. . 3 |- ( [. A / x ]. ph -> A e. _V )
2		rspesbca 2997	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ [. A / x ]. ph ) -> E. x e. _V ph )
3	1, 2	mpancom 419	. 2 |- ( [. A / x ]. ph -> E. x e. _V ph )
4		rexv 2707	. 2 |- ( E. x e. _V ph <-> E. x ph )
5	3, 4	sylib 121	1 |- ( [. A / x ]. ph -> E. x ph )

Syntax hints:   -> wi 4   E.wex 1469   e. wcel 1481   E.wrex 2418   _Vcvv 2689   [.wsbc 2913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914

This theorem is referenced by:  spesbcd  2999  opelopabsb  4190