Theorem zfnuleu 4113

Description: Show the uniqueness of the empty set (using the Axiom of Extensionality via bm1.1 2155 to strengthen the hypothesis in the form of axnul 4114). (Contributed by NM, 22-Dec-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
zfnuleu.1	|- E. x A. y -. y e. x

Assertion

Ref	Expression
zfnuleu	|- E! x A. y -. y e. x

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem zfnuleu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfnuleu.1	. . . 4 |- E. x A. y -. y e. x
2		nbfal 1359	. . . . . 6 |- ( -. y e. x <-> ( y e. x <-> F. ) )
3	2	albii 1463	. . . . 5 |- ( A. y -. y e. x <-> A. y ( y e. x <-> F. ) )
4	3	exbii 1598	. . . 4 |- ( E. x A. y -. y e. x <-> E. x A. y ( y e. x <-> F. ) )
5	1, 4	mpbi 144	. . 3 |- E. x A. y ( y e. x <-> F. )
6		nfv 1521	. . . 4 |- F/ x F.
7	6	bm1.1 2155	. . 3 |- ( E. x A. y ( y e. x <-> F. ) -> E! x A. y ( y e. x <-> F. ) )
8	5, 7	ax-mp 5	. 2 |- E! x A. y ( y e. x <-> F. )
9	3	eubii 2028	. 2 |- ( E! x A. y -. y e. x <-> E! x A. y ( y e. x <-> F. ) )
10	8, 9	mpbir 145	1 |- E! x A. y -. y e. x

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 104   A.wal 1346   F. wfal 1353   E.wex 1485   E!weu 2019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022

This theorem is referenced by: (None)