Theorem zfnuleu 4106

Description: Show the uniqueness of the empty set (using the Axiom of Extensionality via bm1.1 2150 to strengthen the hypothesis in the form of axnul 4107). (Contributed by NM, 22-Dec-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
zfnuleu.1	|- E. x A. y -. y e. x

Assertion

Ref	Expression
zfnuleu	|- E! x A. y -. y e. x

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem zfnuleu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfnuleu.1	. . . 4 |- E. x A. y -. y e. x
2		nbfal 1354	. . . . . 6 |- ( -. y e. x <-> ( y e. x <-> F. ) )
3	2	albii 1458	. . . . 5 |- ( A. y -. y e. x <-> A. y ( y e. x <-> F. ) )
4	3	exbii 1593	. . . 4 |- ( E. x A. y -. y e. x <-> E. x A. y ( y e. x <-> F. ) )
5	1, 4	mpbi 144	. . 3 |- E. x A. y ( y e. x <-> F. )
6		nfv 1516	. . . 4 |- F/ x F.
7	6	bm1.1 2150	. . 3 |- ( E. x A. y ( y e. x <-> F. ) -> E! x A. y ( y e. x <-> F. ) )
8	5, 7	ax-mp 5	. 2 |- E! x A. y ( y e. x <-> F. )
9	3	eubii 2023	. 2 |- ( E! x A. y -. y e. x <-> E! x A. y ( y e. x <-> F. ) )
10	8, 9	mpbir 145	1 |- E! x A. y -. y e. x

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 104   A.wal 1341   F. wfal 1348   E.wex 1480   E!weu 2014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017

This theorem is referenced by: (None)