ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zfnuleu Unicode version

Theorem zfnuleu 4124
Description: Show the uniqueness of the empty set (using the Axiom of Extensionality via bm1.1 2162 to strengthen the hypothesis in the form of axnul 4125). (Contributed by NM, 22-Dec-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
zfnuleu.1  |-  E. x A. y  -.  y  e.  x
Assertion
Ref Expression
zfnuleu  |-  E! x A. y  -.  y  e.  x
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem zfnuleu
StepHypRef Expression
1 zfnuleu.1 . . . 4  |-  E. x A. y  -.  y  e.  x
2 nbfal 1364 . . . . . 6  |-  ( -.  y  e.  x  <->  ( y  e.  x  <-> F.  ) )
32albii 1470 . . . . 5  |-  ( A. y  -.  y  e.  x  <->  A. y ( y  e.  x  <-> F.  ) )
43exbii 1605 . . . 4  |-  ( E. x A. y  -.  y  e.  x  <->  E. x A. y ( y  e.  x  <-> F.  ) )
51, 4mpbi 145 . . 3  |-  E. x A. y ( y  e.  x  <-> F.  )
6 nfv 1528 . . . 4  |-  F/ x F.
76bm1.1 2162 . . 3  |-  ( E. x A. y ( y  e.  x  <-> F.  )  ->  E! x A. y
( y  e.  x  <-> F.  ) )
85, 7ax-mp 5 . 2  |-  E! x A. y ( y  e.  x  <-> F.  )
93eubii 2035 . 2  |-  ( E! x A. y  -.  y  e.  x  <->  E! x A. y ( y  e.  x  <-> F.  ) )
108, 9mpbir 146 1  |-  E! x A. y  -.  y  e.  x
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 105   A.wal 1351   F. wfal 1358   E.wex 1492   E!weu 2026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator