Theorem zfnuleu 4184

Description: Show the uniqueness of the empty set (using the Axiom of Extensionality via bm1.1 2192 to strengthen the hypothesis in the form of axnul 4185). (Contributed by NM, 22-Dec-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
zfnuleu.1	|- E. x A. y -. y e. x

Assertion

Ref	Expression
zfnuleu	|- E! x A. y -. y e. x

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem zfnuleu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfnuleu.1	. . . 4 |- E. x A. y -. y e. x
2		nbfal 1384	. . . . . 6 |- ( -. y e. x <-> ( y e. x <-> F. ) )
3	2	albii 1494	. . . . 5 |- ( A. y -. y e. x <-> A. y ( y e. x <-> F. ) )
4	3	exbii 1629	. . . 4 |- ( E. x A. y -. y e. x <-> E. x A. y ( y e. x <-> F. ) )
5	1, 4	mpbi 145	. . 3 |- E. x A. y ( y e. x <-> F. )
6		nfv 1552	. . . 4 |- F/ x F.
7	6	bm1.1 2192	. . 3 |- ( E. x A. y ( y e. x <-> F. ) -> E! x A. y ( y e. x <-> F. ) )
8	5, 7	ax-mp 5	. 2 |- E! x A. y ( y e. x <-> F. )
9	3	eubii 2064	. 2 |- ( E! x A. y -. y e. x <-> E! x A. y ( y e. x <-> F. ) )
10	8, 9	mpbir 146	1 |- E! x A. y -. y e. x

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   A.wal 1371   F. wfal 1378   E.wex 1516   E!weu 2055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058

This theorem is referenced by: (None)