Theorem zfnuleu 4208

Description: Show the uniqueness of the empty set (using the Axiom of Extensionality via bm1.1 2214 to strengthen the hypothesis in the form of axnul 4209). (Contributed by NM, 22-Dec-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
zfnuleu.1	|- E. x A. y -. y e. x

Assertion

Ref	Expression
zfnuleu	|- E! x A. y -. y e. x

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem zfnuleu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfnuleu.1	. . . 4 |- E. x A. y -. y e. x
2		nbfal 1406	. . . . . 6 |- ( -. y e. x <-> ( y e. x <-> F. ) )
3	2	albii 1516	. . . . 5 |- ( A. y -. y e. x <-> A. y ( y e. x <-> F. ) )
4	3	exbii 1651	. . . 4 |- ( E. x A. y -. y e. x <-> E. x A. y ( y e. x <-> F. ) )
5	1, 4	mpbi 145	. . 3 |- E. x A. y ( y e. x <-> F. )
6		nfv 1574	. . . 4 |- F/ x F.
7	6	bm1.1 2214	. . 3 |- ( E. x A. y ( y e. x <-> F. ) -> E! x A. y ( y e. x <-> F. ) )
8	5, 7	ax-mp 5	. 2 |- E! x A. y ( y e. x <-> F. )
9	3	eubii 2086	. 2 |- ( E! x A. y -. y e. x <-> E! x A. y ( y e. x <-> F. ) )
10	8, 9	mpbir 146	1 |- E! x A. y -. y e. x

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   A.wal 1393   F. wfal 1400   E.wex 1538   E!weu 2077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080

This theorem is referenced by: (None)