Theorem bm1.1 2142

Description: Any set defined by a property is the only set defined by that property. Theorem 1.1 of [BellMachover] p. 462. (Contributed by NM, 30-Jun-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
bm1.1.1	|- F/ x ph

Assertion

Ref	Expression
bm1.1	|- ( E. x A. y ( y e. x <-> ph ) -> E! x A. y ( y e. x <-> ph ) )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem bm1.1

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1508	. . . . . . . 8 |- F/ x y e. z
2		bm1.1.1	. . . . . . . 8 |- F/ x ph
3	1, 2	nfbi 1569	. . . . . . 7 |- F/ x ( y e. z <-> ph )
4	3	nfal 1556	. . . . . 6 |- F/ x A. y ( y e. z <-> ph )
5		elequ2 2133	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( y e. x <-> y e. z ) )
6	5	bibi1d 232	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( y e. x <-> ph ) <-> ( y e. z <-> ph ) ) )
7	6	albidv 1804	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( A. y ( y e. x <-> ph ) <-> A. y ( y e. z <-> ph ) ) )
8	4, 7	sbie 1771	. . . . 5 |- ( [ z / x ] A. y ( y e. x <-> ph ) <-> A. y ( y e. z <-> ph ) )
9		19.26 1461	. . . . . 6 |- ( A. y ( ( y e. x <-> ph ) /\ ( y e. z <-> ph ) ) <-> ( A. y ( y e. x <-> ph ) /\ A. y ( y e. z <-> ph ) ) )
10		biantr 937	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. x <-> ph ) /\ ( y e. z <-> ph ) ) -> ( y e. x <-> y e. z ) )
11	10	alimi 1435	. . . . . . 7 |- ( A. y ( ( y e. x <-> ph ) /\ ( y e. z <-> ph ) ) -> A. y ( y e. x <-> y e. z ) )
12		ax-ext 2139	. . . . . . 7 |- ( A. y ( y e. x <-> y e. z ) -> x = z )
13	11, 12	syl 14	. . . . . 6 |- ( A. y ( ( y e. x <-> ph ) /\ ( y e. z <-> ph ) ) -> x = z )
14	9, 13	sylbir 134	. . . . 5 |- ( ( A. y ( y e. x <-> ph ) /\ A. y ( y e. z <-> ph ) ) -> x = z )
15	8, 14	sylan2b 285	. . . 4 |- ( ( A. y ( y e. x <-> ph ) /\ [ z / x ] A. y ( y e. x <-> ph ) ) -> x = z )
16	15	gen2 1430	. . 3 |- A. x A. z ( ( A. y ( y e. x <-> ph ) /\ [ z / x ] A. y ( y e. x <-> ph ) ) -> x = z )
17	16	jctr 313	. 2 |- ( E. x A. y ( y e. x <-> ph ) -> ( E. x A. y ( y e. x <-> ph ) /\ A. x A. z ( ( A. y ( y e. x <-> ph ) /\ [ z / x ] A. y ( y e. x <-> ph ) ) -> x = z ) ) )
18		nfv 1508	. . 3 |- F/ z A. y ( y e. x <-> ph )
19	18	eu2 2050	. 2 |- ( E! x A. y ( y e. x <-> ph ) <-> ( E. x A. y ( y e. x <-> ph ) /\ A. x A. z ( ( A. y ( y e. x <-> ph ) /\ [ z / x ] A. y ( y e. x <-> ph ) ) -> x = z ) ) )
20	17, 19	sylibr 133	1 |- ( E. x A. y ( y e. x <-> ph ) -> E! x A. y ( y e. x <-> ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1333   F/wnf 1440   E.wex 1472   [wsb 1742   E!weu 2006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009

This theorem is referenced by:  zfnuleu  4088