Theorem bm1.1 2172

Description: Any set defined by a property is the only set defined by that property. Theorem 1.1 of [BellMachover] p. 462. (Contributed by NM, 30-Jun-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
bm1.1.1	|- F/ x ph

Assertion

Ref	Expression
bm1.1	|- ( E. x A. y ( y e. x <-> ph ) -> E! x A. y ( y e. x <-> ph ) )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem bm1.1

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1538	. . . . . . . 8 |- F/ x y e. z
2		bm1.1.1	. . . . . . . 8 |- F/ x ph
3	1, 2	nfbi 1599	. . . . . . 7 |- F/ x ( y e. z <-> ph )
4	3	nfal 1586	. . . . . 6 |- F/ x A. y ( y e. z <-> ph )
5		elequ2 2163	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( y e. x <-> y e. z ) )
6	5	bibi1d 233	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( y e. x <-> ph ) <-> ( y e. z <-> ph ) ) )
7	6	albidv 1834	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( A. y ( y e. x <-> ph ) <-> A. y ( y e. z <-> ph ) ) )
8	4, 7	sbie 1801	. . . . 5 |- ( [ z / x ] A. y ( y e. x <-> ph ) <-> A. y ( y e. z <-> ph ) )
9		19.26 1491	. . . . . 6 |- ( A. y ( ( y e. x <-> ph ) /\ ( y e. z <-> ph ) ) <-> ( A. y ( y e. x <-> ph ) /\ A. y ( y e. z <-> ph ) ) )
10		biantr 953	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. x <-> ph ) /\ ( y e. z <-> ph ) ) -> ( y e. x <-> y e. z ) )
11	10	alimi 1465	. . . . . . 7 |- ( A. y ( ( y e. x <-> ph ) /\ ( y e. z <-> ph ) ) -> A. y ( y e. x <-> y e. z ) )
12		ax-ext 2169	. . . . . . 7 |- ( A. y ( y e. x <-> y e. z ) -> x = z )
13	11, 12	syl 14	. . . . . 6 |- ( A. y ( ( y e. x <-> ph ) /\ ( y e. z <-> ph ) ) -> x = z )
14	9, 13	sylbir 135	. . . . 5 |- ( ( A. y ( y e. x <-> ph ) /\ A. y ( y e. z <-> ph ) ) -> x = z )
15	8, 14	sylan2b 287	. . . 4 |- ( ( A. y ( y e. x <-> ph ) /\ [ z / x ] A. y ( y e. x <-> ph ) ) -> x = z )
16	15	gen2 1460	. . 3 |- A. x A. z ( ( A. y ( y e. x <-> ph ) /\ [ z / x ] A. y ( y e. x <-> ph ) ) -> x = z )
17	16	jctr 315	. 2 |- ( E. x A. y ( y e. x <-> ph ) -> ( E. x A. y ( y e. x <-> ph ) /\ A. x A. z ( ( A. y ( y e. x <-> ph ) /\ [ z / x ] A. y ( y e. x <-> ph ) ) -> x = z ) ) )
18		nfv 1538	. . 3 |- F/ z A. y ( y e. x <-> ph )
19	18	eu2 2080	. 2 |- ( E! x A. y ( y e. x <-> ph ) <-> ( E. x A. y ( y e. x <-> ph ) /\ A. x A. z ( ( A. y ( y e. x <-> ph ) /\ [ z / x ] A. y ( y e. x <-> ph ) ) -> x = z ) ) )
20	17, 19	sylibr 134	1 |- ( E. x A. y ( y e. x <-> ph ) -> E! x A. y ( y e. x <-> ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1361   F/wnf 1470   E.wex 1502   [wsb 1772   E!weu 2036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039

This theorem is referenced by:  zfnuleu  4139