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Theorem nnc0suc 4412
Description: All naturals are either zero or a successor. Theorem X.1.7 of [Rosser] p. 276. (Contributed by SF, 14-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
nnc0suc Nn 0c Nn 1c
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem nnc0suc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-sn 3741 . . . . . 6 0c 0c
2 vex 2862 . . . . . . . . 9
32elimak 4259 . . . . . . . 8 Imagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1ck Nn Nn Imagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c
4 vex 2862 . . . . . . . . . . 11
5 opkelimagekg 4271 . . . . . . . . . . 11 Imagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1ck
64, 2, 5mp2an 653 . . . . . . . . . 10 Imagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1ck
7 dfaddc2 4381 . . . . . . . . . . 11 1c Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1ck
87eqeq2i 2363 . . . . . . . . . 10 1c Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1ck
96, 8bitr4i 243 . . . . . . . . 9 Imagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c 1c
109rexbii 2639 . . . . . . . 8 Nn Imagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn 1c
113, 10bitri 240 . . . . . . 7 Imagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1ck Nn Nn 1c
1211abbi2i 2464 . . . . . 6 Imagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1ck Nn Nn 1c
131, 12uneq12i 3416 . . . . 5 0c Imagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1ck Nn 0c Nn 1c
14 unab 3521 . . . . 5 0c Nn 1c 0c Nn 1c
1513, 14eqtri 2373 . . . 4 0c Imagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1ck Nn 0c Nn 1c
16 snex 4111 . . . . 5 0c
17 addcexlem 4382 . . . . . . . 8 Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1c
18 1cex 4142 . . . . . . . . . 10 1c
1918pw1ex 4303 . . . . . . . . 9 1 1c
2019pw1ex 4303 . . . . . . . 8 1 1 1c
2117, 20imakex 4300 . . . . . . 7 Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c
2221imagekex 4312 . . . . . 6 Imagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c
23 nncex 4396 . . . . . 6 Nn
2422, 23imakex 4300 . . . . 5 Imagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1ck Nn
2516, 24unex 4106 . . . 4 0c Imagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1ck Nn
2615, 25eqeltrri 2424 . . 3 0c Nn 1c
27 eqeq1 2359 . . . 4 0c 0c 0c 0c
28 eqeq1 2359 . . . . 5 0c 1c 0c 1c
2928rexbidv 2635 . . . 4 0c Nn 1c Nn 0c 1c
3027, 29orbi12d 690 . . 3 0c 0c Nn 1c 0c 0c Nn 0c 1c
31 eqeq1 2359 . . . 4 0c 0c
32 eqeq1 2359 . . . . 5 1c 1c
3332rexbidv 2635 . . . 4 Nn 1c Nn 1c
3431, 33orbi12d 690 . . 3 0c Nn 1c 0c Nn 1c
35 eqeq1 2359 . . . 4 1c 0c 1c 0c
36 eqeq1 2359 . . . . 5 1c 1c 1c 1c
3736rexbidv 2635 . . . 4 1c Nn 1c Nn 1c 1c
3835, 37orbi12d 690 . . 3 1c 0c Nn 1c 1c 0c Nn 1c 1c
39 eqeq1 2359 . . . 4 0c 0c
40 eqeq1 2359 . . . . 5 1c 1c
4140rexbidv 2635 . . . 4 Nn 1c Nn 1c
4239, 41orbi12d 690 . . 3 0c Nn 1c 0c Nn 1c
43 eqid 2353 . . . 4 0c 0c
4443orci 379 . . 3 0c 0c Nn 0c 1c
45 eqid 2353 . . . . . 6 1c 1c
46 addceq1 4383 . . . . . . . 8 1c 1c
4746eqeq2d 2364 . . . . . . 7 1c 1c 1c 1c
4847rspcev 2955 . . . . . 6 Nn 1c 1c Nn 1c 1c
4945, 48mpan2 652 . . . . 5 Nn Nn 1c 1c
5049olcd 382 . . . 4 Nn 1c 0c Nn 1c 1c
5150a1d 22 . . 3 Nn 0c Nn 1c 1c 0c Nn 1c 1c
5226, 30, 34, 38, 42, 44, 51finds 4411 . 2 Nn 0c Nn 1c
53 peano1 4402 . . . 4 0c Nn
54 eleq1 2413 . . . 4 0c Nn 0c Nn
5553, 54mpbiri 224 . . 3 0c Nn
56 peano2 4403 . . . . 5 Nn 1c Nn
57 eleq1 2413 . . . . 5 1c Nn 1c Nn
5856, 57syl5ibrcom 213 . . . 4 Nn 1c Nn
5958rexlimiv 2732 . . 3 Nn 1c Nn
6055, 59jaoi 368 . 2 0c Nn 1c Nn
6152, 60impbii 180 1 Nn 0c Nn 1c
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wb 176   wo 357   wceq 1642   wcel 1710  cab 2339  wrex 2615  cvv 2859   ∼ ccompl 3205   cdif 3206   cun 3207   cin 3208   csymdif 3209  csn 3737  copk 4057  1cc1c 4134  1 cpw1 4135   Ins2k cins2k 4176   Ins3k cins3k 4177  kcimak 4179   SIk csik 4181  Imagekcimagek 4182   Sk cssetk 4183   Nn cnnc 4373  0cc0c 4374   cplc 4375
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379
This theorem is referenced by:  nndisjeq  4429  lefinlteq  4463  evenodddisj  4516  sfinltfin  4535  phialllem1  4616  nnc3n3p1  6278
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