Theorem isotr 5496

Description: Composition (transitive) law for isomorphism. Proposition 6.30(3) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by set.mm contributors, 27-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
isotr	|- ((H Isom R, S (A, B) /\ G Isom S, T (B, C)) -> (G o. H) Isom R, T (A, C))

Proof of Theorem isotr

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oco 5309	. . . . 5 |- ((G:B-1-1-onto->C /\ H:A-1-1-onto->B) -> (G o. H):A-1-1-onto->C)
2	1	ad2ant2r 727	. . . 4 |- (((G:B-1-1-onto->C /\ A.u e. B A.v e. B (uSv <-> (G` u)T(G` v))) /\ (H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w)))) -> (G o. H):A-1-1-onto->C)
3	2	ancoms 439	. . 3 |- (((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) /\ (G:B-1-1-onto->C /\ A.u e. B A.v e. B (uSv <-> (G` u)T(G` v)))) -> (G o. H):A-1-1-onto->C)
4		f1of 5288	. . . . . . . . 9 |- (H:A-1-1-onto->B -> H:A-->B)
5		ffvelrn 5416	. . . . . . . . . . 11 |- ((H:A-->B /\ x e. A) -> (H` x) e. B)
6	5	ex 423	. . . . . . . . . 10 |- (H:A-->B -> (x e. A -> (H` x) e. B))
7		ffvelrn 5416	. . . . . . . . . . 11 |- ((H:A-->B /\ y e. A) -> (H` y) e. B)
8	7	ex 423	. . . . . . . . . 10 |- (H:A-->B -> (y e. A -> (H` y) e. B))
9	6, 8	anim12d 546	. . . . . . . . 9 |- (H:A-->B -> ((x e. A /\ y e. A) -> ((H` x) e. B /\ (H` y) e. B)))
10	4, 9	syl 15	. . . . . . . 8 |- (H:A-1-1-onto->B -> ((x e. A /\ y e. A) -> ((H` x) e. B /\ (H` y) e. B)))
11	10	adantr 451	. . . . . . 7 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) -> ((x e. A /\ y e. A) -> ((H` x) e. B /\ (H` y) e. B)))
12		breq1 4643	. . . . . . . . . . 11 |- (u = (H` x) -> (uSv <-> (H` x)Sv))
13		fveq2 5329	. . . . . . . . . . . 12 |- (u = (H` x) -> (G` u) = (G` (H` x)))
14	13	breq1d 4650	. . . . . . . . . . 11 |- (u = (H` x) -> ((G` u)T(G` v) <-> (G` (H` x))T(G` v)))
15	12, 14	bibi12d 312	. . . . . . . . . 10 |- (u = (H` x) -> ((uSv <-> (G` u)T(G` v)) <-> ((H` x)Sv <-> (G` (H` x))T(G` v))))
16		breq2 4644	. . . . . . . . . . 11 |- (v = (H` y) -> ((H` x)Sv <-> (H` x)S(H` y)))
17		fveq2 5329	. . . . . . . . . . . 12 |- (v = (H` y) -> (G` v) = (G` (H` y)))
18	17	breq2d 4652	. . . . . . . . . . 11 |- (v = (H` y) -> ((G` (H` x))T(G` v) <-> (G` (H` x))T(G` (H` y))))
19	16, 18	bibi12d 312	. . . . . . . . . 10 |- (v = (H` y) -> (((H` x)Sv <-> (G` (H` x))T(G` v)) <-> ((H` x)S(H` y) <-> (G` (H` x))T(G` (H` y)))))
20	15, 19	rspc2v 2962	. . . . . . . . 9 |- (((H` x) e. B /\ (H` y) e. B) -> (A.u e. B A.v e. B (uSv <-> (G` u)T(G` v)) -> ((H` x)S(H` y) <-> (G` (H` x))T(G` (H` y)))))
21	20	com12 27	. . . . . . . 8 |- (A.u e. B A.v e. B (uSv <-> (G` u)T(G` v)) -> (((H` x) e. B /\ (H` y) e. B) -> ((H` x)S(H` y) <-> (G` (H` x))T(G` (H` y)))))
22	21	adantl 452	. . . . . . 7 |- ((G:B-1-1-onto->C /\ A.u e. B A.v e. B (uSv <-> (G` u)T(G` v))) -> (((H` x) e. B /\ (H` y) e. B) -> ((H` x)S(H` y) <-> (G` (H` x))T(G` (H` y)))))
23	11, 22	sylan9 638	. . . . . 6 |- (((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) /\ (G:B-1-1-onto->C /\ A.u e. B A.v e. B (uSv <-> (G` u)T(G` v)))) -> ((x e. A /\ y e. A) -> ((H` x)S(H` y) <-> (G` (H` x))T(G` (H` y)))))
24	23	imp 418	. . . . 5 |- ((((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) /\ (G:B-1-1-onto->C /\ A.u e. B A.v e. B (uSv <-> (G` u)T(G` v)))) /\ (x e. A /\ y e. A)) -> ((H` x)S(H` y) <-> (G` (H` x))T(G` (H` y))))
25		breq1 4643	. . . . . . . . . 10 |- (z = x -> (zRw <-> xRw))
26		fveq2 5329	. . . . . . . . . . 11 |- (z = x -> (H` z) = (H` x))
27	26	breq1d 4650	. . . . . . . . . 10 |- (z = x -> ((H` z)S(H` w) <-> (H` x)S(H` w)))
28	25, 27	bibi12d 312	. . . . . . . . 9 |- (z = x -> ((zRw <-> (H` z)S(H` w)) <-> (xRw <-> (H` x)S(H` w))))
29		breq2 4644	. . . . . . . . . 10 |- (w = y -> (xRw <-> xRy))
30		fveq2 5329	. . . . . . . . . . 11 |- (w = y -> (H` w) = (H` y))
31	30	breq2d 4652	. . . . . . . . . 10 |- (w = y -> ((H` x)S(H` w) <-> (H` x)S(H` y)))
32	29, 31	bibi12d 312	. . . . . . . . 9 |- (w = y -> ((xRw <-> (H` x)S(H` w)) <-> (xRy <-> (H` x)S(H` y))))
33	28, 32	rspc2v 2962	. . . . . . . 8 |- ((x e. A /\ y e. A) -> (A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w)) -> (xRy <-> (H` x)S(H` y))))
34	33	impcom 419	. . . . . . 7 |- ((A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w)) /\ (x e. A /\ y e. A)) -> (xRy <-> (H` x)S(H` y)))
35	34	adantll 694	. . . . . 6 |- (((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) /\ (x e. A /\ y e. A)) -> (xRy <-> (H` x)S(H` y)))
36	35	adantlr 695	. . . . 5 |- ((((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) /\ (G:B-1-1-onto->C /\ A.u e. B A.v e. B (uSv <-> (G` u)T(G` v)))) /\ (x e. A /\ y e. A)) -> (xRy <-> (H` x)S(H` y)))
37	4	ad2antrr 706	. . . . . 6 |- (((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) /\ (G:B-1-1-onto->C /\ A.u e. B A.v e. B (uSv <-> (G` u)T(G` v)))) -> H:A-->B)
38		fvco3 5385	. . . . . . . 8 |- ((H:A-->B /\ x e. A) -> ((G o. H)` x) = (G` (H` x)))
39		fvco3 5385	. . . . . . . 8 |- ((H:A-->B /\ y e. A) -> ((G o. H)` y) = (G` (H` y)))
40	38, 39	breqan12d 4655	. . . . . . 7 |- (((H:A-->B /\ x e. A) /\ (H:A-->B /\ y e. A)) -> (((G o. H)` x)T((G o. H)` y) <-> (G` (H` x))T(G` (H` y))))
41	40	anandis 803	. . . . . 6 |- ((H:A-->B /\ (x e. A /\ y e. A)) -> (((G o. H)` x)T((G o. H)` y) <-> (G` (H` x))T(G` (H` y))))
42	37, 41	sylan 457	. . . . 5 |- ((((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) /\ (G:B-1-1-onto->C /\ A.u e. B A.v e. B (uSv <-> (G` u)T(G` v)))) /\ (x e. A /\ y e. A)) -> (((G o. H)` x)T((G o. H)` y) <-> (G` (H` x))T(G` (H` y))))
43	24, 36, 42	3bitr4d 276	. . . 4 |- ((((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) /\ (G:B-1-1-onto->C /\ A.u e. B A.v e. B (uSv <-> (G` u)T(G` v)))) /\ (x e. A /\ y e. A)) -> (xRy <-> ((G o. H)` x)T((G o. H)` y)))
44	43	ralrimivva 2707	. . 3 |- (((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) /\ (G:B-1-1-onto->C /\ A.u e. B A.v e. B (uSv <-> (G` u)T(G` v)))) -> A.x e. A A.y e. A (xRy <-> ((G o. H)` x)T((G o. H)` y)))
45	3, 44	jca 518	. 2 |- (((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) /\ (G:B-1-1-onto->C /\ A.u e. B A.v e. B (uSv <-> (G` u)T(G` v)))) -> ((G o. H):A-1-1-onto->C /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> ((G o. H)` x)T((G o. H)` y))))
46		df-iso 4797	. . 3 |- (H Isom R, S (A, B) <-> (H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))))
47		df-iso 4797	. . 3 |- (G Isom S, T (B, C) <-> (G:B-1-1-onto->C /\ A.u e. B A.v e. B (uSv <-> (G` u)T(G` v))))
48	46, 47	anbi12i 678	. 2 |- ((H Isom R, S (A, B) /\ G Isom S, T (B, C)) <-> ((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) /\ (G:B-1-1-onto->C /\ A.u e. B A.v e. B (uSv <-> (G` u)T(G` v)))))
49		df-iso 4797	. 2 |- ((G o. H) Isom R, T (A, C) <-> ((G o. H):A-1-1-onto->C /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> ((G o. H)` x)T((G o. H)` y))))
50	45, 48, 49	3imtr4i 257	1 |- ((H Isom R, S (A, B) /\ G Isom S, T (B, C)) -> (G o. H) Isom R, T (A, C))

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 176   /\ wa 358   = wceq 1642   e. wcel 1710  A.wral 2615   class class class wbr 4640   o. ccom 4722  -->wf 4778  -1-1-onto->wf1o 4781  ` cfv 4782   Isom wiso 4783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-co 4727  df-ima 4728  df-id 4768  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-res 4789  df-fun 4790  df-fn 4791  df-f 4792  df-f1 4793  df-fo 4794  df-f1o 4795  df-fv 4796  df-iso 4797

This theorem is referenced by: (None)